关于动力系统实结构的相关研究

论文总字数：16364字

摘 要

在动力系统的实际问题的研究中，有时我们需要把一个实系统放在复空间中进行研究，得到结果后再转化为实系统。本文主要研究满足实，复系统可以相互转化的变换的性质，并证明满足该性质的变换在函数复合和线性变换下封闭。

具体的说，证明分三步完成。首先写出实系统和复系统，并给出标准线性变换。紧接着证明满足条件的变换在进行实线性组合、复合和可逆坐标变换是封闭的。最后证明在此条件下，实系统可以通过给出的可逆的线性变换转化为复系统，复系统也可以转化为实系统，从而证明满足该性质的变换在函数复合和线性变换下封闭。

关键词：动力系统，解析函数，线性变换

Abstract

In the study of practical problems of dynamic systems, sometimes we need to put a real system in complex space to study, and then convert the results into real systems. In this paper, we mainly study the properties of transformations satisfying real and complex systems, and prove that transformations satisfying these properties are closed under functional composition and linear transformation.

Specifically, the proof is completed in three steps. Firstly, the real system and complex system are written, and the standard linear transformation is given. Next, we will prove that the transformation satisfying the conditions is closed in real linear combination, function composition and invertible coordinate transformation. Finally, we will prove that under these conditions, the real system can be transformed into a complex system by the given reversible linear transformation, and the complex system can also be transformed into a real system, thus proving that the transformations satisfying this property are closed under the combination of functions and linear transformation.

KEY WORDS: dynamic systems, analytic function, linear transformation

目 录

摘要 ……………………………………………………………………………………………Ⅰ

Abstract …………………………………………………………………………………… Ⅰ

1. 绪论 ………………………………………………………………………………1

1.1 背景知识 ………………………………………………………………1

1.2 本文主要结果 …………………………………………………………1

1. 预备知识 …………………………………………………………………3

2.1 线性变换 ………………………………………………………………3

2.2 解析函数 ………………………………………………………………………5

2.3多元函数微分学 …………………………………^…………………9

1. 主要证明过程 ……………………………………………………………………10
2. 总结 ………………………………………………………………………………15

致谢 ………………………………………………………………………………16

参考文献（Reference）…………………………………………………………17

第一章 绪论

1.1背景知识

自从微分方程这一概念提出以来，人们就开始了对常微分方程的研究。随着研究的不断深入和自然科学及生产技术的需要愈发迫切，19世纪数学家从求解常微分方程转向其定性的研究，这就是动力系统的起源。在上个世纪中叶，随着微分几何和微分拓扑研究的发展，动力系统理论取得了重大的突破。人们发现，动力系统在物理，化学，生物，机电工程，控制技术，医学，经济等领域有着广泛的应用。因此动力系统也成为最热门的数学分支之一。

动力系统一般研究随时间演化的系统在状态空间中的行为，侧重点在于定性的结论。例如著名的KAM理论就主要探讨了，哈密顿系统在小扰动下不变环面得以保持的性质。根据时间是否连续，动力系统可以分为两类：连续动力系统与离散动力系统。本次课题研究系统属于连续动力系统。

在动力系统的研究中，有时对于实系统的研究，需要通过把实系统转化为复系统，研究复系统的性质之后，再转化为实系统。这一过程称为实系统的保持性。本设计即是研究实系统与复系统之间的变换，以及实系统满足线性组合和复合的性质。

1.2本文主要结果

本文主要研究满足实，复系统可以相互转化的变换的性质，并证明满足该性质的变换在函数复合和线性变换下封闭。一般的，考虑具有如下形式的实系统

其中向量，向量值函数，是系统的参数。 我们考虑构造一个标准线性变换，并将实系统扩充到复数域，即

这里U=()。那么经线性变换得到的复系统则具有如下的形式

其中

。注意到，上述线性变换并不是一个线性同构，而是一个嵌入。因此，我们要研究对于复系统上的变换何时能诱导一个相应实系统上的变换。总结下来，简单的说本文主要得到了如下两个定理。

定理1：复系统的满足某些条件的复坐标变换，对实线性组合、函数复合和可逆的坐标变换保持封闭。

定理2：考虑实系统和经过标准线性变换过的复系统，如果复变换满足上述条件，那么，经过变换过的实，复系统可以通过前述标准线性变换相互转化。

为了得到最后的结果，本文将按以下的顺序展开。

第二章主要介绍线性变换，解析函数和多元函数微分学的基础知识，这些内容是后面证明的基础。其中线性变换部分重点讲由复若尔当标准形转化为实若尔当标准形的过程，这与由实系统转化为复系统的思想非常相似。解析函数部分首先介绍了共轭复数的概念与性质，然后介绍了解析函数，解析函数的泰勒级数展开，以及解析开拓的相关结论。这部分理论是复系统在条件下满足实线性组合和函数复合的基础。最后多元函数微分学的部分给出了证明中计算所需要的基础理论。

第三章是证明的主体部分，主要分为三个部分。首先给出实系统、复系统以及两者之间线性变换的具体形式，然后证明复系统对于线性组合和复合封闭，在可逆线性变换下也保持结构不变，即定理1。最后证明通过可逆的线性变换，实系统可以转化为复系统，从而证明实系统在变换之后对线性组合和复合保持不变，即定理2。

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