数值求解随机延迟微分方程平均退出时间的多重Monte Carlo方法

论文总字数：26775字

摘 要

如今，随机微分方程与随机延迟微分方程在我们的生活中具有广泛应用，不论是在经济学还是生命科学等领域都占据不可或缺的重要地位。随机延迟微分方程是随机微分方程的推广，延迟项的引入，使得该方程考虑到了时滞带来的影响，从而在现实生活中具有更为广阔的应用前景。而平均退出时间同样具有重要的应用价值，比如：粒子何时首次从其起点偏离给定区间，利率何时首次离开指定的区间，这些都是求解平均退出时间的问题。本文采用Monte Carlo方法与数值方法相结合的形式，对随机微分方程和随机延迟微分方程的平均退出时间进行求解，并研究了随机微分方程的初始值和平均退出时间的关系，以及随机延迟微分方程的初始函数、延迟项对其平均退出时间的影响。同时，本文分别运用Monte Carlo方法和多重Monte Carlo方法对随机延迟微分方程进行求解，并对二者的计算效率进行了比较分析。

关键词：平均退出时间，Monte Carlo方法，多重Monte Carlo方法，随机微分方程，随机延迟微分方程

Abstract

Nowadays, stochastic differential equations and stochastic delay differential equations are widely used in our lives, and they are indispensable in economics and life sciences. The stochastic delay differential equation is a generalization of stochastic differential equations. The introduction of delay term makes the equation take into account the influence of time delay, which has a broader application prospect in real life and becomes an important model in mathematical modeling. The mean exit time also has important application value. For example, When does the particle deviate from the starting point for a given interval for the first time, and when the interest rate leaves the specified interval for the first time, these are the problems of solving the mean exit time.In this paper, Monte Carlo method and numerical method are combined to solve the mean exit time of stochastic differential equations and stochastic delay differential equations. The relationship between the initial values of stochastic differential equations and the mean exit time is studied.We also studied the effect of the initial function of the delay differential equation and the delay term on its mean exit time.At the same time, the Monte Carlo method and the multilevel Monte Carlo method are used to solve the stochastic delay differential equations, and the computational efficiency of the two is compared and analyzed.

Keywords: mean exit time, Monte Carlo method, multilevel Monte Carlo method, stochastic differential equation, stochastic delay differential equation

目 录

摘 要 Ⅰ

Abstract Ⅱ

第一章 绪论 1

1.1 课题背景及研究的目的和意义 1

1.2 研究现状 1

1.3 本文主要研究内容及安排 2

第二章 平均退出时间 4

2.1 背景介绍 4

2.2 Monte Carlo方法求解随机微分方程平均退出时间 4

2.2.1 计算案例 5

2.3 随机微分方程平均退出时间与初始值的关系 7

2.3.1 案例一 8

2.3.2 案例二 8

2.3.3 案例三 9

2.3.4 结论 11

2.4 Monte Carlo方法求解随机延迟微分方程平均退出时间 11

2.4.1 求解随机延迟微分方程平均退出时间 11

2.4.2 随机延迟微分方程平均退出时间与初始函数的关系 12

2.4.3 随机延迟微分方程平均退出时间与延迟项的关系 13

第三章 求解随机延迟微分方程 15

3.1 Monte Carlo方法求解随机延迟微分方程 15

3.2 多重Monte Carlo方法求解随机延迟微分方程 15

3.2.1标准Monte Carlo算法的复杂度 15

3.2.2多重Monte Carlo方法 16

结论 20

参考文献 21

附录 22

致谢 31

第一章 绪论

1.1课题背景及研究的目的和意义

本课题利用数值方法结合Monte Carlo方法研究随机微分方程及随机延迟微分方程解的平均退出时间，并对随机延迟微分方程分别运用Monte Carlo方法和多重Monte Carlo方法求解并比较。首先，运用Monte Carlo方法分别求随机微分方程和随机延迟微分方程的平均退出时间，对于随机微分方程，分析平均退出时间与初始值的关系；对于随机延迟微分方程，分析平均退出时间与初始函数和延迟量的关系。其次，对于随机延迟微分方程，分别利用Monte Carlo方法和多重Monte Carlo方法获得数值解的统计信息，并分析算法的计算效率。

平均退出时间在许多应用中都很重要，比如在投资中对期权产品何时买入抛出问题的研究里，利率何时首次离开指定的区间；量子动力学中，粒子何时首次从其起点偏离一定距离；在生物工程中，细胞中的蛋白质浓度何时超过临界阈值。另外在空中交通管理（使用马尔可夫链方法）、电子系统、最优决策以及金融保险和经济学中也有重要作用[1]。

而随机延迟微分方程是对延迟微分方程和随机微分方程的推广 ，它不仅考虑了在系统发展过程中随机因素所产生的的影响，还考虑了时滞带来的的影响[7]。近年来，随机延迟微分方程理论得到了广泛的研究，在建模的时候，随机延迟微分方程考虑了滞后因素和外界环境造成的影响，从而可以对社会现象和自然环境中具有“不确定性”和“受滞后影响”的现象进行模拟，是研究这一方向问题的重要数学模型。因此大量运用于经济学、生命科学、环境科学、机械化工、控制等领域[7]。

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