平移曲面及其性质

论文总字数：23183字

摘 要

关键字：平移曲面 ；平均曲率； 最小曲面； 超曲面

Translation surfaces and its properties

0711118 Ding dong

The guidance of Teachers Chao xiao li

Abstract: This paper mainly studies the characteristics in Euclidean space and Minkowski space in the translation surfaces, we first discuss the translation surfaces in three-dimensional Euclidean space and the nature of translation surfaces in three-dimensional Euclidean space of the minimal surface, concluded that the minimum shift surface is three dimensional Euclidean space of generalized Scherk surface or surface curvature and Scherk translation, Gauss generalized Scherk surface tends to infinity. Then we went on to discuss the nature of translation surfaces in 3D in the Heisenberg group, the nature of first type to type sixth minimum translation surfaces and the determination, finally we discuss the translation surfaces in Euclidean space, Minkowski space and hyperbolic hypersurface in space, and the empty class, class, class light judgment, and the in Euclidean space, with the nature of translation of constant curvature Hypersurfaces in hyperbolic space and Minkowski space.

Key words: translation surface ；Mean curvature ； Minimal surface ； Hypersurfaces

目录

《平移曲面及其性质》 1

一 引言 4

二 预备知识 5

2.1 欧式空间 5

2.1.1 向量的运算 5

2.2 曲面的局部理论 5

2.2.1 曲面的概念 5

2.2.2 Weingarten变换 5

2.2.3 主曲率 5

2.2.4 平均曲率和Gauss曲率 5

2.3 闵可夫斯基空间 6

2.4 Heisenberg群 6

三．三维欧氏空间中的平移曲面和最小曲面 7

3.1 平移曲面中最小曲面的说明 7

3.2 三维欧式空间中平移曲面的性质 7

3.3 三维欧式空间中最小平移曲面的性质 8

四. 三维Heisenberg群中的平移曲面 10

4.1 三维Heisenberg群中第一型和第四型最小平移曲面 10

4.2 三维Heisenberg群中第二型和第五型最小平移曲面 10

4.3 三维Heisenberg群中第三型和第六型最小平移曲面 12

五．欧式空间，闵可夫斯基空间和双曲空间中的平移超曲面 14

5.1 具有常曲率的平移超曲面在三维空间中的性质和意义 14

5.2 具有常曲率的平移超曲面在三维空间中的类时性和类空性判别 14

5.3 在欧式空间，闵可夫斯基空间和双曲空间中具有常曲率的平移超曲面的性质 16

5.3.1 在欧式空间中具有常曲率超平面的性质 16

5.3.2在闵可夫斯基空间具有常曲率超平面的性质 17

5.3.3 在双曲空间中最小平移超曲面的性质 18

致谢 21

参考文献 22

一 引言

微分几何的产生和发展趋势

微分几何这门学科是数学中很重要的部分，它研究空间的几何性质是通过微积分的方法进行的。微分几何与其他数学分支有着紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响。相对论与微分几何的发展也是密不可分的

微分几何与微积分是密不可分的，欧拉是微分几何这门学科的创始人和奠基者，他是最先引入了平面曲线坐标这一概念，继而开展微分几何的研究，之后，法国数学家孟日再次把微积分这一概念应用到曲面和曲线的研究中，并出版了第一部微分几何的著作《分析在几何中的应用》。之后德国数学家高斯发表了《关于曲面的一般研究》，这本书是微分几何的奠基之作，它建立了曲面的内蕴几何学，强调了曲面上只依赖第一基本形式的性质，在此之后黎曼将高斯的理论进一步拓展到n维空间，从此就诞生了黎曼几何的概念，高斯和黎曼的理论初步地构建起微分几何这门学科的基础架构，为后来许多数学家的研究奠定了基础。

微分几何对近代数学的发展起着很大的作用，它与扁粉雪，李群理论，拓扑学都有着紧密的联系，微分几何并且也在现代的工程方面有着广泛的应用，比如机械齿轮的咬合，弹性材料的结构等。微分几何也在天文学，物理学和力学中有着广泛的应用，所以微分几何的发展对现代社会是很重要的。

二 预备知识

2.1 欧式空间

解析几何的基本思想是将欧式空间的几何结构代数化，向量是视线这一目标的基本工具，经典的三维欧式空间是由点，线，面组成的他们满足欧式空间几何的公理假设。向量是空间中既有长度又有方向的量，一个直观的办法是用有向线段来表示向量。

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