论文总字数：67634字
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\begin{document}
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\frontmatter
\vskip 0.5cm
\begin{center}{\songti\zihao{4} 摘\ \ \ \ 要}
\end{center}
\addcontentsline{toc}{chapter}{摘\ \ \ \ 要}
{\songti\zihao{-4}{\quad 光子晶体是在纳米级别的由两种及两种以上不同介电常数（或折射率）的材料周期排列而成的有序结构的新型材料。因为光子晶体的具有光子能带的独特的性质，使得它可以被用来“控制”或者“捕获”光子。而且其在科学和工业上被称为“光半导体”或“未来的半导体”。这让科学家预言在21世纪将掀起一场光子技术革命。所以如何准确的求解光子能带，就是一个需要解决的问题。
为了数值确定三维面心立方光子晶体的带状结构，本文介绍了模型的建立的过程。对光子晶体中的 Maxwell 方程组建立数学模型，利用周期条件和边界条件建立离散模型；利用矩阵的特征，得到了具有普遍适用性的离散方法，得到相应的矩阵特征值问题模型；对相应的超大规模的广义特征值问题，介绍了相应的算法，用以求解最小非零实特征值；利用已有的计算平台对光子晶体的结构进行数值模拟。最我们对三维光子晶体的不同晶格，不同参数进行了大量的数值实验，得到数值结果，并进行了相应的分析。
}}
\vskip 1cm \noindent{\songti\zihao{-4} 关键词: \ \ Maxwell方程,\ 三维光子晶体,\ 标准特征值问题,\ 求逆Lanczos 方法,\ 快速傅立叶变换 ,\ 矩阵-向量乘法运算}
\newpage
\thispagestyle{plain}
\vskip 0.5cm
\begin{center}{\rm\zihao{4} Abstract}
\end{center}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Abstract}
\par
The photonic crystal is a new materials with ordered structure, which are periodically arranged by two or more materials with different dielectric constants (or refractivity) at the nanometer level. Because photonic crystals have unique properties of photonic bands, they can be used to "control" or "capture" photons. And it is called "optical semiconductor" or "future semiconductor" in science and industry. This has led scientists to predict a revolution in photon technology in the 21st century. And how to solve the photonic band structure accurately is a problem.
In order to numerically determine the band structure of three-dimensional(3D) face-centered cubic photonic crystals, the process of establishing the model is introduced in this paper. In this work, mathematical models of the Maxwell equations in photonic crystals are established, and establishing the discrete models by using the periodic and boundary conditions; discrete methods with universal applicability are obtained by using the characteristics of matrices, and obtaining the corresponding matrix eigenvalue problem models; algorithms are introduced for solving the the minimum non-zero positive eigenvalue of super-large-scale generalized eigenvalue problems. The band structure of photonic crystals is numerically simulated using the existing computing platform. In the Last, I have carried out a lot of numerical experiments on different lattices and parameters of 3-D photonic crystals, and obtained numerical results and done the corresponding analysis. Many interesting phenomena have been discovered.
\vskip 0.8cm \noindent{\rm KEY WORDS:\ the Maxwell Equations,\ 3-D Photonic crystals,\ Standard Eigenvalue Problem,\ inverse Lanczos method, \ fast Fourier transform, \ matrix-vector multiplication }
\renewcommand{\contentsname}{目\ \ \ \ \ \ \ \ 录}
\tableofcontents
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\mainmatter
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}
\chapter{绪论 }
\s0 \vskip 3mm
\section{光子晶体}
\s0
\par
光子晶体是在上个世纪八十年代由E.Yablonovitch 和S.John在研究抑制自发辐射和光子局域时分别提出的\cite{E,S}。这种材料是在纳米级别的由两种及两种以上不同介电常数的材料周期排列而成的有序结构材料，如图\ref{pic:structure}所示。光波在具有周期性介电常数的光子晶体中传播时，由于布拉格散射，其色散曲线会形成带状能带结构，叫做光子能带（photonic band）。能带与能带之间可能会出现的带隙，称为光子禁带（photonic band gap, PBG）。所有落在光子禁带中的光是不能在光子晶体中传播的，因为带隙中没有任何态存在。光子晶体的最基本的特征就是具有光子禁带。
\renewcommand{\figurename}{图}
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=2in]{structure}
\caption{光子晶体的结构微观图}\label{pic:structure}
\end{figure}
Yablonovitch在\cite{E}的研究中提出：由于激发态原子的自发辐射的几率和光子所在频率的态的数目成正比，所以光子晶体具有抑制自发辐射的性质。我们把一个原子放在一个光子晶体里，当原子的自发辐射光的频率恰好位于光子禁带中时，因为光子晶体不存在该频率光子的态，所以达到抑制自发辐射的效果。另一方面，光子晶体同样能增强自发辐射，具体方法就是增加该频率光子的态的数目，比如在光子晶体中混入杂质，此时品质因子很高的杂质态就会出现在光子禁带中，即存在很大的态密度，从而达到增强辐射的效果。
John在其研究\cite{S}中提出：在一种设计好的无序介电材料组成的超晶体中，可以看到光子具有很强的Anderson 局域。如果破坏光子晶体原有的周期性或对称性，例如改变部分介质的性质如大小或介电常数，则频率极窄的缺陷态有可能出现在其光子禁带中，这样就可以把与缺陷态频率相吻合的光子限制在出现缺陷的位置上，因为当光偏离缺陷位置时，就会迅速衰减。所以这就为我们提供了一种控制或俘获光子的方法\cite{3,4}。
光子禁带和光子局域现象的存在为人为控制光子的流动提供了可能，使人们能够按照自己的需求、以人工的方式设计和制造光子器件。虽然人们对一维的光子晶格即层状介电系统研究很久了，但是对于能带结构方面的研究却停滞在其光学性质上。一直到1989 年，Yablonovitch 和Gmitter 开始试着在实验中证明存在三维光子晶体能带结构。他们在实验中按照面心立方(FCC) 的排列方式对三氧化二铝$(Al_2O_3)$ 材料钻了八千个空洞，得到一个人造晶体。根据实验测量得到的透射频谱如图\ref{pic:first} 所示，由图可以得出存在绝对带隙，且其宽度约有1GHz。 但是理论学家经过证明指出不存在绝对带隙，只是具有虚能隙。但是Yablonovitch 在两年之后终于在微波段得到了一个三维光子晶体的真正的绝对能隙。
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=2in]{first}\\
\caption{面心立方结构的三氧化二铝的虚能隙}\label{pic:first}
\end{figure}
光子晶体的特性为相关学科发展和高新技巧的突破带了来新机遇。光子晶体存在长波极限，偏振特性，能隙特性，局限特性，异常群速度以及异常折射等特性\cite{www}。由于光子带隙的存在，人们可以随心地控制光子的运动。 而且根据其独特的特性，我们可以利用光子晶体制作出高性能的光学器件。光子晶体在光通讯上也有占有一席之地，例如传统的电子器件可以被光子晶体器件所替换，从而大大提高信息通讯的速度\cite{2,3,4,5}。 因为光子晶体和半导体的性质在某些方面极其相似，所以光子晶体也被称为“光半导体”或“未来的半导体”。
\section{晶格平移向量}
\s0
\par
现在，许许多多的晶体的结构都是已知的。平行六面体是空间格子的最小重复单元。布拉维父子研究证明，在三维欧拉空间中只有7 大晶系，14种不同的平行六面体
\cite{Lattice}。 七大晶系分别为：立方晶系，四方晶系，六方晶系，单斜晶系，三斜晶系，正交晶系以及菱方晶系。
我们可以利用平移系统和一个晶格点来定义布拉维格子原始单元晶格。事实上，任意一个3D 单位晶格是一个由晶格平移向量$\mathbf{a}_1,\mathbf{a}_2$ 和$\mathbf{a}_3$ 构成的（倾斜的）平行六面体。
这里，我们考虑3D面心立方(FCC)光子晶体，如图\ref{pic:vector}所示。其晶格向量为
\be\label{equ:a123}
\mathbf{a}_1=\frac{a}{\sqrt{2}}[1,0,0]^\top,\mathbf{a}_2=\frac{a}{\sqrt{2}}\left[\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right]^\top ,
\mathbf{a}_3=\frac{a}{\sqrt{2}}\left[\frac{1}{2},\frac{1}{2\sqrt{3}},\sqrt{\frac{2}{3}}\right]^\top
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