一类扩散光学层析成像的非迭代型数值方法

论文总字数：35764字

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\begin{center}{\kaishu \zihao{2}{一类扩散光学层析成像的非迭代型数值方法}}\end{center}

\vskip 0.5cm

\begin{center}{\kaishu\zihao{4} {\bf 摘\ \ \ \ 要}}

\end{center}　

\addcontentsline{toc}{chapter}{摘\ \ \ \ 要} {\kaishu \ \

扩散光学层析成像(DOT)是一种典型的无创医学成像技术, 其目的是通过近红外光穿透生物组织体, 利用其边界上的强度测量结果重建组织的几何和物理特性. 近年来,~DOT~由于其在医学成像领域的多方面优势而备受关注, 已被大量应用于临床检测领域. 在数学上~DOT~被归结为一类重要的数学物理反问题. 用扩散模型求解~DOT~时, 介质光学性质的重建问题被转化为扩散方程的系数反问题. 其根本任务是由边界测量数据重建生物组织体内部的光学参数, 进而探测其异常信息. 本文旨在提出一类非迭代的数值求解方法, 并通过数值例子验证得到的理论结果. 首先, 基于变分理论, 建立定解问题解的渐近性质, 分析了内含物直径趋于零时逆向扩散方程基本解加权的边界测量值的渐近行为. 其次, 根据解的渐近分析, 建立定位小尺寸异常内含物的非迭代型数值方法, 并从数值上验证算法的有效性和可行性.}

\vskip 1cm \noindent{\kaishu {\bf 关键词:} 反问题,\ 扩散方程,\ 小尺寸内含物,\ 重建方法,\ 扩散光学层析成像}

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\begin{center}{\rm A non-iterative numerical method for the diffuse optical tomography}\end{center}

\vskip 0.5cm

\begin{center}{\rm\zihao{4} {\bf Abstract}}

\end{center}

\addcontentsline{toc}{chapter}{Abstract}

\par

Diffuse optical tomography is a typical non-invasive medical imaging technique. Its purpose is to reconstruct the geometric and physical properties of the tissue through near-infrared light, by measuring the intensity information on its boundary. In recent years, DOT has attracted much attention due to its diverse advantages in medical imaging and has been widely used in the field of clinical detection. In mathematics, DOT can be formulated as inverse problems for partial differential equations. When the diffusion model is used to model DOT, the reconstruction problem of the optical properties is transformed into the inverse coefficient problem of the diffusion equation. Its fundamental task is to reconstruct the optical parameters inside the biological tissue from the boundary measurement data, and then detect its abnormal information. First, based on the variation principle, we establish the asymptotic properties of the solution to the initial boundary value problem, and then analyze the asymptotic behavior of the weighted boundary measure by the fundamental solution to the backward diffusion equation, as the diameter of the inclusions approaches to zero. Second, according to the asymptotic analysis, we establish a non-iterative numerical method for locating the small anomalous material, and verify the validity and feasibility of the algorithm numerically.

\vskip 0.8cm \noindent{\rm {\bf Keywords:}\ Inverse problem, \ diffusion equation, \

small inclusions, \ reconstruction scheme, \ diffuse optical tomography}

\tableofcontents

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\mainmatter

\chapter{引言}

\s0 \vskip 3mm

扩散光学层析成像(DOT)是一种新兴的无创光学成像技术. 技术主要使用~600nm-1000nm~的红外光照射人体组织, 若人体组织中存在异常物质, 则在异常物质和普通人体组织的成像会出现高对比性. 因为人体中癌细胞所在组织增生迅速, 增加了局部的供血以及耗氧, 从而导致血红蛋白浓度与正常组织有差异[15]. 通过对~DOT~ 图像的分析, 就可以检测出人体组织中的肿瘤, 诊断早期癌症. DOT~的反问题则是通过边界测量重建组织的光学特性. 光学特性的高对比度表明组织内部可能存在异常. DOT~技术由于其有多参数复合测量, 成像呈强特异性, 无损伤和低成本等优点, 已被多个临床领域所应用[16].

当扩散模型用于~DOT~时, 重建介质的光学性质的问题被表示为扩散方程的系数反问题[1]. Hyv\"onen~使用因子分解方法在光学层析成像中定位内含物和透明腔[2, 3]. 基于不依赖于时间的扩散模型, Chow~等建立了一种定位未知夹杂物的直接采样方法[4]. 假设生物组织体内具有有限个小吸收内含物, Bal~利用不依赖于时间的扩散方程解的渐近展开, 提出了一种基于边界测量的小尺寸内含物定位重建方法[5]. Wang~提出了热成像中利用边界测量重构热导体内部未知异物的非迭代型数值方法, 数学上归结为热方程的反边值问题[8, 14]. Ammari~设计了应用于热成像的通过边界测量温度定位内含物的高效非迭代算法[11]. Rudge~研究了快速层析图像重建算法[17].

\section{问题描述}

本文利用依赖时间的扩散模型研究了~DOT~中小尺寸异常内含物的定位问题. 设$~\Omega~$为均匀的背景介质. 假设$~\Omega~$在$~\mathbb{R}^{d}(d=2,\, 3)~$中且是李普希茨有界域. $\Omega~$包含有限个小尺寸物体$~\{D_s\}^m_{s=1}$, 每个$~D_s~$形如$~D_s := \varepsilon B_s z_s$, 其中$~B_s~$是$~\mathbb{R}^{d}~$中包含原点的李普希茨有界域, $\varepsilon~$是一个小的正参数. 用$~D = \bigcup_{s=1}^m D_s~$ 表示所有内含物组成的集合, 并假设存在一个常数$~d_0 gt; 0~$使

\begin{equation}

\textrm{dist}(D,\,\partial\Omega)gt;d_0,\quad \textrm{dist}(D_i,\, D_j)gt;d_0, \qquad 1\leq i\neq j\leq m.

\end{equation}

假设背景介质中的扩散系数和吸收系数分别为$~\gamma_0~$和$~b_0$, 每个内含体$~D_s~$的扩散系数和吸收系数分别为$~\gamma_s~$和$~b_s$. 定义只包含正常数的分段函数如下:

\begin{equation}

\gamma_\varepsilon:=

\begin{cases}

\gamma_0, \quad amp; \ x\in\Omega\backslash\overline{D},\\

\gamma_s,\quad amp;\ x\in D_s,s=1,...,m,

\end{cases}

\end{equation}

\begin{equation}

b_\varepsilon:=

\begin{cases}

b_0, \quad amp;\ x\in\Omega\backslash\overline{D},\\

b_s,\quad amp;\ x\in D_s,s=1,...,m,

\end{cases}

\end{equation}

\subsection{正演模型}

考虑以下扩散光学层析成像的\textbf{正演模型}:

\begin{equation}

\begin{cases}

\partial_tu-\nabla \cdot(\gamma_\varepsilon\nabla u) b_\varepsilon u=0, \,\quadamp;\ (x,\,t)\in\Omega\times(0,\, T), \\

\gamma_0\partial_\nu u \beta u=g, \quad\quad\quad\quad\quad \quad amp;\ (x,\,t)\in\partial\Omega\times(0,\, T), \\

u(\cdot,\, 0)=\theta(x),\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad amp;\ x\in\overline{\Omega},

\end{cases}

\end{equation}

其中$~\beta gt; 0~$为正常数, $\theta\in C^{1}(\overline{\Omega})~$为初始数据. 本文中, 设$~\nu~$为$~\partial\Omega~$的单位外法向量. 正演问题$(1.4)$很容易被证明在某些函数空间中是适定的. 因此, 对于在$~\partial\Omega\times(0,\, T)~$上任何给定的~Robin~边界数据$~g$, 可测量边界数据$~u|_{\partial\Omega\times(0,\, T)}$, 其中$~u~$为$(1.4)$的解.

\subsection{反问题}

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