二维高阶加权本质无振荡（WENO）守恒重映算法

论文总字数：40795字

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\floatname{algorithm}{算法}

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\begin{document}

\categorynumber{000} % 分类采用《中国图书资料分类法》

\UDC{000} %《国际十进分类法UDC》的类号

\secretlevel{公开} %学位论文密级分为"公开"、"内部"、"秘密"和"机密"四种

\studentid{07215117} %学号要完整，前面的零不能省略。

\title{基于Simple WENO重构的高阶守恒重映算法}{}{High order conservative remapping method based on Simple WENO reconstruction}{subtitle}

\author{雷诺}{Nuo Lei}

\advisor{赵璇}{副教授}{Xuan Zhao}{Associate Prof.}

\coadvisor{成娟}{教授}{Juan Cheng}{Prof.} % 没有

% \degree{工学硕士} % 详细学位名称

\major[12em]{信息与计算科学}

\defenddate{答辩日期}

\authorizedate{学位授予日期}

\department{数学学院}{department name}

\duration{2019年1月—2019年5月}

\address{东南大学数学学院}

\maketitle

\begin{abstract}{重映，高阶精度，不振荡，守恒，Simple WENO}

针对ALE问题中网格随着流体变形的情况，本文提出并构造了一种基于三阶精度Simple WENO 重构的守恒重映算法，能有效的在网格间重映守恒物理量。该算法在二维平面网格每个单元上通过构造一个二次中心模板和四个线性偏心模板，在积分区域上计算光滑指示子后，相应的赋予非线性权重，保持三阶精度的同时，还有着本质无振荡的特性。又因为该格式对每个单元仅需计算一个二次多项式，和若干1次多项式，所以运行效率上要明显高于同阶精度的ENO、WENO格式。在本文中，以双曲守恒律问题中密度为例，通过质量守恒，详细地给出一套完整、成熟的守恒重映算法框架，并在必要的地方给出理论证明与实际算例，也能利用该框架对另外两个守恒量“动量”和“总能量”进行重映。最后，设计数值实验对Simple WENO 重映算法进行精度测试和无振荡测试，实验结果表明该格式对光滑函数有着三阶精度，且对间断函数、峰值函数无振荡，同时相较于同样精度的ENO格式，运算效率更高。

\end{abstract}

\begin{englishabstract}{Remapping, High order accuracy, Non-oscillatory, Conservation, Simple WENO reconstruction}

Aiming at the problem of ALE with fluid deformation, a conservative remapping method based on Simple WENO reconstruction scheme with third-order precision is proposed, which can effectively remap conserved physical quantities between grids. For each cell in grid, the algorithm constructs a quadratic central stencil and four linear side stencils on two-dimensional plane. After calculating the smooth indicator in the integral region, the algorithm gives the corresponding non-linear weight, keeps the third-order accuracy, and has the essentially non-oscillatory characteristics. Because the scheme only needs to compute one quadratic polynomial and several linear polynomials for each cell, the efficiency of the scheme is obviously higher than that of ENO and WENO schemes with the same order. In this paper, taking density as an example in hyperbolic conservation law, a complete and mature framework of conservative remapping method is given in detail through mass conservation. Theoretical proof and practical examples are given where necessary. The framework can also be used to remap the other two conserved quantities "momentum" and "total energy". Finally, numerical experiments are designed to test the accuracy and non-oscillation of Simple WENO remapping scheme. The experimental results show that the scheme has a third-order accuracy for smooth function, and essentially non-oscillatory for discontinuous function and peak function. At the same time, the algorithm is more efficient when compared with ENO scheme with the same accuracy.

\end{englishabstract}

\tableofcontents

\begin{Main} % 开始正文

\chapter{引言}

\quad 流体力学的计算方法主要可分为Euler方法和Lagrange方法两大类。Lagrange 方法中网格跟随流体运动，物质界面与自由面能被自动追踪，因而特别适合于多介质流动问题计算。但Lagrange方法在计算大变形流体运动时会遇到计算网格大变形问题，此时需要对网格重分以及重映物理量。物理量重映是指将网格进行重分后利用旧网格上的物理量来重构得到新网格上的物理量。重映是通过守恒律实现的，包括的守恒物理量有：总质量、动量以及总能量，从物理和数学意义上考虑, 通常要求守恒量在重映过程满足高精度、守恒和不振荡特性。

\quad 重映方法主要可分为两类, 连续重映和应用更广泛的积分重映，其中积分重映不需要新旧网格具有任何几何拓扑关系。目前高精度积分重映算法大多基于本质不振荡ENO\cite{2}重构的思想。但在ENO格式提出之后，很多学者对其做出进一步的优化，引入非线性权的WENO\cite{3,4}重构及其一系列改进版本，让该重构格式有更好的精度、鲁棒性，对于守恒物理量的映射也能保证本质无振荡性。因此，本文在守恒物理量的重映过程中，采用一种更为简洁高效的WENO\cite{5}重构格式，能更有效的保证算法高精度、守恒与本质无振荡的优点且有着较好的运行效率。

\section{文献综述与研究现状}

\quad 在对流体的数值模拟中常常需要面对流体变形，通常利用ALE（Arbitrary Lagrange-Euler）方法解决，保证界面处高分辨率的同时允许网格随着流体流动而改变。由于ALE方法中存在的网格大变形问题，需要将物理量在网格间映射，于是高精度重映算法是ALE方法中的重要一环。除了高精度，重映算法还应该保证无振荡性以及守恒性等，这对算法本身提出较高的要求。2008 年，Cheng和Shu\cite{1}针对一维、二维的情况，提出基于ENO 格式的守恒重映算法框架，该框架可以拓展到任意阶精度，且由于运用ENO算法，保证了重映过程中守恒性、高精度与无振荡性。重映过程中需要计算新旧网格相互交叠的区域，一般采用的都是由Sutherland 和Hodgman\cite{9,10} 提出的多边形剪裁方法，该算法基于一个给定的“窗口”多边形，对需要剪裁的多边形进行循环判断，最后给出交叠区域的多边形。文献\cite{12}中也提出了一种基于ENO格式的守恒重映算法，并给出2 维平面上2阶、3阶格式的构造方案与数值实验。文献\cite{11}给出一种基于RBF的守恒重映算法，该算法在重映过程有着高精度、高守恒性和单调性，与ENO、WENO算法相比在激波间断处具有极高的分辨率。但是该算法构造复杂，且不同于ENO、WENO算法的是RBF插值函数不基于泰勒展开构造，因此网格加密时精度不会随之提高。

\section{二维高阶加权本质无振荡（WENO）格式调研}

\quad 文献\cite{1}中使用的是ENO格式（Essentially Non-Oscillatory Schemes），它由Harten等人\cite{2}在1986年提出，针对间断、激波等梯度较大位置的拟合，通常的多项式拟合很容易出现振荡；对此，ENO格式通过比较待选模板的光滑程度，选择更平滑的模板重构多项式，选择性地避开包含大梯度和间断点的模板，对分片光滑函数获得一致高阶精度且本质无振荡的重构。之后十余年Liu，Osher等人\cite{3} 对ENO 算法选择模板的过程做出改进，形成WENO算法（Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes），引入非线性权，利用备选模板的凸组合得到新的重构格式，这样能够在光滑区域逼近最优组合，从而比ENO在光滑区域有更高的精度，且间断区域的分辨率更高，同样的保持了本质无振荡的特性，因此特别适合包含间断解问题的计算。此后，Shu，Jiang\cite{4}提出更有效的WENO 格式，通过优化光滑指示子(smoothness indicator)的计算方法，使得格式具有更好的健壮性与易操作性，让WENO格式得到更广泛的应用。到了21 世纪，Levy 等人\cite{5,13}提出新的3 阶本质无振荡格式来逼近2 维双曲守恒律的解，他们是将二次多项式与线性多项式进行凸组合得到3 阶精度的新型格式，在利用同样信息的情况下有更高的计算效率与精度，更好地抑制间断处的振荡，模板也更加紧致；与之类似，Zhu 和Shu\cite{6} 针对稳态问题给出新的WENO格式，也是将高次多项式与线性多项式进行凸组合得到高阶精度。

\quad WENO格式及其变化通过计算光滑指示子赋予非线性权重，从而能避开因为在包含间断的模板上建立多项式带来的振荡，且有效利用更多模板上的信息。光滑区域上的WENO 格式精度更高，也更适合进行守恒物理量重映。Simple WENO\cite{5,6}则是在利用相同信息的情况下有着高精度，而且多项式构造过程更加简洁，也让程序运行显得更为高效。

\quad 本文将采用Simple WENO重构进行物理量的守恒重映，该算法能够满足高精度、本质无振荡、守恒性的要求，且运行效率高。对于守恒物理量的重映过程，本文将分为三步进行：

\begin{spacing}{1.0}

\begin{flushleft}

\begin{enumerate}

\item \emph{在旧网格上重构多项式}

\item \emph{计算新旧网格交叠区域}

\item \emph{在新网格上重新积分}

\end{enumerate}

\end{flushleft}

\end{spacing}

整个重构过程将在第二章中详细提及，并以“密度”为例，给出必要的证明和计算结果。第三章将给出一系列数值实验，在随机网格上验证算法的各种特性并与同阶精度的ENO 格式做对比；最后总结并分析全文。

\newpage

\chapter{基于Simple WENO重构的高阶守恒重映算法}

\quad 在流体的ALE数值模拟中，随着流体的运动，计算网格通常也在变动，这就要求我们在不同的网格间重映物理量信息。需要重映的守恒物理量来自双曲守恒律研究的质量（密度）、总能量、动量等，在重映过程中，三种物理量的映射方式基本都是基于网格单元，反映单元内的平均情况。本文主要讨论双曲守恒律中“密度”的重映，通过单元上平均密度乘上单元面积后再求和得到总质量，再由质量守恒实现网格间物理量重映，而总能量和动量的重映与之类似，不再赘述。

\quad 本文将集中讨论二维平面上守恒物理量重映问题，对于一维的情况，本文的方法也是适用的。现在假设有一个二维连通区域$\Omega$，为便于叙述，将其设定为$[0,1]\times[0,1]$ 。在$\Omega$上建立非结构网格$\{I_{i 1/2,j 1/2}\}, i=1,2,\cdots,N_{x}, j=1,2,\cdots,N_{y}$，其中每一个单元$I_{i 1/2,j 1/2}$表示一个由点$\{P_{i,j}, P_{i 1,j}, P_{i 1,j 1}, P_{i,j 1}\}$ 构成的四边形单元，每一个网格顶点$P_{i,j}$的坐标是$(x_{i,j},y_{i,j})$。需要说明的是，任意两个不同的单元除开顶点与边之外都没有相交区域，即相交区域的面积为0，且他们的并集就是总体区域$\Omega$，用数学公式表示即为：

$$S(I_{i_1 1/2,j_1 1/2}\cap I_{i_2 1/2,j_2 1/2})=0,\; i_{1}\neq i_{2}\;or\;j_{1}\neq j_{2}$$

$$\bigcup_{i,j}I_{i 1/2,j 1/2}=\Omega$$

\quad 随着网格变形，守恒物理量需要在不同网格间映射，变形后的网格与原网格有相同数量的顶点和单元。我们将第二套非结构网格记为$\{\tilde{I}_{k 1/2,l 1/2}\}, k=1,2,\cdots,N_{x}, l=1,2,\cdots,N_{y}$，其中每一个单元$\tilde{I}_{k 1/2,l 1/2}$表示由点$\{\tilde{P}_{k,l}, \tilde{P}_{k 1,l}, \tilde{P}_{k 1,l 1}, \tilde{P}_{k,l 1}\}$ 构成的四边形单元，每一个网格顶点$\tilde{P}_{k,l}$ 的坐标是$(\tilde{x}_{k,l},\tilde{y}_{k,l})$。同样的我们有：

$$S(\tilde{I}_{k_1 1/2,l_1 1/2}\cap \tilde{I}_{k_2 1/2,l_2 1/2})=0,\; k_{1}\neq k_{2}\;or\;l_{1}\neq l_{2}$$

$$\bigcup_{k,l}\tilde{I}_{k 1/2,l 1/2}=\Omega=\bigcup_{i,j}I_{i 1/2,j 1/2}$$

又由于$\{I_{i 1/2,j 1/2}\}$和$\{\tilde{I}_{k 1/2,l 1/2}\}$都完全覆盖区域$\Omega$，所以新网格的每一个单元都可以由旧网格划分。

$$\tilde{I}_{k 1/2,l 1/2}=\bigcup_{i,j}^{N_{x},N_{y}}(\tilde{I}_{k 1/2,l 1/2}\bigcap I_{i 1/2,j 1/2})$$

\quad 在建立计算网格后，我们需要解决的守恒物理量重映问题可以重述为：\emph{已知网格${I_{i 1/2,j 1/2}}$上，每个小单元的平均密度$\overline{\rho}_{i 1/2,j 1/2}$，通过区域上总体质量守恒，求在新网格${\tilde{I}_{k 1/2,l 1/2}}$ 中，每个小单元的平均密度$\tilde{\rho}_{k 1/2,l 1/2}$。} 我们利用质量作为中间量，在新旧网格间传递信息。已知网格信息和旧网格上每个小单元内的平均密度$\overline{\rho}_{i 1/2,j 1/2}$ 和面积$S_{i 1/2,j 1/2}$，那么该单元的质量即为$m_{i 1/2,j 1/2}=\overline{\rho}_{i 1/2,j 1/2}*S_{i 1/2,j 1/2}$。 如果存在关于$x,y$ 的多项式$\rho(x,y)$ 在单元$I_{i 1/2,j 1/2}$上满足等式：

\begin{equation}\label{equ:2-1}

\overline{\rho}_{i 1/2,j 1/2} = \iint\limits_{I_{i 1/2,j 1/2}} \rho(x,y)dxdy/S_{i 1/2,j 1/2}

\end{equation}

将这样的多项式记为$\rho_{i 1/2,j 1/2}(x,y)$，即为重构多项式。在旧网格上，对所有的单元$I_{i 1/2,j 1/2}$重构多项式，要求它们在单元上的积分均值等于该单元的平均密度。于是新网格上单元密度可以表示为：

\begin{equation*}

\begin{split}

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