一类SIR传染病模型的同伦分析法

论文总字数：27112字

摘 要

Abstract…………………………………………………………………………………….................................Ⅱ

第一章 研究背景 1

1.1.SIRS传染病模型的介绍 1

1.2.SIRS传染病模型的研究意义 1

1.3.非线性问题求解的发展史 1

1.3.1.非摄动方法 1

1.3.2.摄动方法 2

1.3.3.同伦分析法（HAM） 2

第二章 同伦分析法(HAM)和RK算法 4

2.1.同伦分析法(HAM) 4

2.1.1同伦的概念 4

2.1.2同伦分析法的基本思想 5

2.2.龙格-库塔法和ODE45 7

2.2.1龙格-库塔法 7

2.2.2四阶龙格-库塔法 9

第三章 一类两种群模型的同伦分析 10

3.1一类两种群模型的同伦分析 10

3.2数值模拟 12

第四章 SIRS传染病模型的研究 14

4.1.SIRS模型的研究内容 14

4.2.SIRS模型研究的难点 14

4.3.解的有界性以及无病平衡点的存在性 15

4.4.SIRS传染病模型的同伦分析 15

4.5数值模拟 18

4.6总结 22

参考文献 22

附录 24

致谢 29

摘 要

本课题提出了一个强非线性的SIRS传染病模型，首先我们研究解的定性性质，包括解的有界性以及无病平衡点的存在性。最关键的是，我们主要研究同伦分析法得到的级数近似解是否适用于该模型。主要的方法是：运用数学软件观察分析ODE45得到数值解和同伦分析法得到级数近似解。最后进行数值模拟，来进一步判断同伦分析法是否适用于该传染病模型。

关键词：同伦分析法，级数近似解，SIRS传染病模型，龙格-库塔法，数值解

Abstract

In this paper,a strongly nonlinear SIRS epidemic model is proposed,first,we study the non-negativity,boundness of solutions and the existence of equilibrium points.The most important thing is that we mainly study whether the series approximate solution obtained by HAM is suitable for this model.The main research method is to use mathematical software to observe and analyze the numerical solution obtained by ODE45 and the approximate series solution obtained by HAM . Finally, numerical simulation is carried out to further judge whether HAM is applicable to the model.

Keywords: HAM ode45 numerical solution approximate solution of series SIRS Epidemic Model RK

第一章 研究背景

1.1.SIRS传染病模型的介绍

SIRS是根据传播特征命名的一类传染病模型,它包含下面几种类型：易染病者和染病者。在本文研究中分别用符号表示。

1.2.SIRS传染病模型的研究意义

SIRS传染病是众多高危传染病中的一种类型，对人类的健康存在着重大的威胁。它可以在人们以及动物之间快速传播，对人类和动物的健康极具危害。它存在三种状态：易感染者，染病者和移除者。为了对这种传染病的传播规律以及传播动态进行分析预测，数学学家以及生物学家们进行了大量的实验研究和数学模型研究。在数学模型方面，数学学家们不仅已经对它的很多定性性质进行了深入研究，比如解的存在性，非负性等等，而且进行了小世界网络的SIRS模型研究，饱和发生率的SIRS传染病模型的研究等。在本课题中，我们提出了一种新的研究类型-具有强非线性发生率的SIRS模型研究。在这个全新的方面，我们期望对SIRS传染病进行更加深入细致的研究，从而能够更全面的了解该传染病，期望能够在未来的生活中对它的预防和控制起到实际性作用。

1.3.非线性问题求解的发展史

生物学上的很多问题都是非线性的，它们的求解方法和求解过程相比较线性问题而言要困难很多。随着人们对非线性问题的探索，处理非线性问题的方法也在不断的发展和突破。早期出现的传统的解析方法，比如摄动方法和非摄动方法，它们在当时求解非线性问题过程中都发挥着极其重要的作用。在早期非线性问题的求解过程中，所有传统的解析方法求解本质都是相同的：都是在非线性问题中把物理小参数展开成无穷个级数，把最初的复杂的的非线性方程组拆分成一系列简单的线性子方程组。这里，线性方子程组的解一般很容易得到，然后通过一定的线性组合把这些线性子问题的解统一起来，以期望能够足够精确的逼近原始非线性表达式。因此，在早期求解非线性问题时，一个传统解析方法的优劣的判断标准如下：

（1）能否把原始的复杂非线性问题转化成一系列容易求解的线性子问题？

（2）这些线性子问题的解的组合是否能够很好的逼近原始非线性问题？

（3）线性子问题的解是否能够很容易的求解得到？

（4）能否轻易的构造线性子问题？

1.3.1.非摄动方法

在早期的传统解析方法中，使用频率最高的是摄动方法。虽然之前人们已经采用摄动方法成功解决很多复杂的非线性问题，但是该方法仍然有很大的局限性，这和摄动方法求解的基本思想有关。我们使用摄动方法求解非线性问题时的基本思路：首先按非线性方程中某个物理小参数把它展开成无穷个级数，然后把最初的非线性方程组转化成一系列线性的方程组进行求解，最后把这些线性子问题的解进行线性组合来逼近最初的原始非线性方程组。从求解的过程可以看出，摄动方法在求解非线性问题的过程中必须依赖于物理小参数，那么，一旦原始非线性问题不包含物理小参数，那么该方法就失去了意义。此外，有的非线性方程组即使包含物理小参数，但是在求解高阶的摄动方程时，求解的过程也是极其复杂的。最关键的一点，摄动方法无法确保得到的级数近似解收敛，而且，绝大部分的非线性问题在使用摄动方法求解时，要求物理小参数在很小的范围内该方法才有效。所以，从方法论的角度来说，摄动方法无法满足上面四个判断标准，这也是为什么摄动方法更加适用于弱非线性问题的原因。

1.3.2.摄动方法

因为摄动方法的局限性，一些学者在研究非线性问题的过程中进一步提出了非摄动方法。比如法国数学家Adomian提出了Adomian分解法^[9]。Adomian提出的分解法 可以把任何一个非线性方程组分解为一系列线性的子方程组，然后进行求解，但它也仅仅满足上面所说判断标准（1）。俄罗斯数学家李雅普诺夫（Lyapunov）提出了人工小参数方法^[9]，李雅普诺夫提出的人工小参数法，主要是把原始的非线性方程组乘以一个人工参数，之后和摄动方法的求解过程一样，只需要在最后令人工参数等于1即可。由此可见，李雅普诺夫的人工小参数法也仅仅满足判断标准（1）。这两种方法在求解的过程中面临同一个问题：遇到高阶的线性子问题需要用幂级数来进行表达，但是幂级数想要收敛对收敛半径是有条件限制的，因此无法确保得到的级数近似解能够收敛到最初的非线性方程组的解。这也决定了非摄动方法同样只能适用于弱非线性问题的求解。

因为摄动方法和非摄动方法都无法完全满足上面所说的四个判断条件，所以，它们在处理非线性问题的过程中有很大的局限性。现实中各种各样复杂的非线性问题有待解决，很多数学学家继续深入研究，希望能够得到一种新的方法。并且期望新的方法即能处理复杂的非线性问题，又能满足上面提出的四个判断条件。这些前期的研究都为同伦分析法的提出奠定了深厚的基础。另外，传统的解析方法虽然无法解决强非线性问题，但是也为同伦分析法的提出提供了坚实的理论基础，在非线性问题的求解过程中有指导意义。

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：27112字