论文总字数：25480字

摘 要

期权在金融界中算是一种衍生产品，是近几年才兴起的新兴产品，由于其比较高的杠杆收益和比较保险的投资方式，吸引了许多投资者的目光，因此证券市场在我国开始比价快速的发展起来。

美式期权可以在约定到期日之前的每一天都可以执行，与欧式期权更灵活和易于操作，所以美式期权更受欢迎，相对应的，美式期权的价格也比较高，所以给美式期权定价成为了金融学的一大课题。

在这篇论文，通过估计收益率与波动率，主要讨论分析了熊市和牛市两种情况下美式期权的最优停止时间和相对应的收益，以及用实例来论证该模型。

关键词：美式期权，随机微分方程，最优停时，数值计算

Abstract

European option and American option are two basic options. European options can only be implemented on the expiration date specified in the contract, while American options can be implemented on any working day prior to the expiration date specified in the contract (including maturity date). Options can be divided into call options and put options according to the purchase and sale of primary assets in the contract. A put option is a contract to sell a certain quantity and quality of original assets at a certain time and at a certain price.

Option is one of the most important financial derivatives. Reasonable pricing is the basis for options to function. For European options, we already have the classic Black-Scholes formula, which cannot be used to price options because American options allow option holders to execute at any time before the option undefined expiration date. So the pricing of American options has been a challenging topic. American option generally does not have a closed solution, even if there is a closed solution under some special circumstances, it will be difficult to be directly applied in practice because of the existence of a large number of singular integrals, so it is agreed to seek effective numerical methods. Many researchers have studied this problem and put forward many useful methods, such as Monte Carlo method, binary tree method, finite element method, finite difference method and so on. This paper mainly discusses the application of optimal stopping time in American option and the case study of American option pricing strategy by estimating the return rate and volatility in the model.

KEY WORDS: American option, Stochastic differential equation, optimal stop time, numerical calculation

目 录

摘要 I

Abstract II

前言 2

第一章 预备知识 3

1.1 随机过程 3

1.1.1 布朗运动 3

1.1.2 分数布朗运动 3

1.1.3 伊藤公式与伊藤定理 3

1.1.4 鞅理论 5

1.2 随机微分方程 5

1.2.1 随机微分方程的模拟 5

1.2.2 随机微分方程的应用 6

第二章 主要内容 7

2.1 期权定价模型：Black-Schloes模型 7

2.1.1 模型简介 7

2.1.2 模型推导 7

2.1.3 模型局限性 8

2.2 美式期权定价模型 9

2.2.1 几种美式期权定价方法的比较与分析…………………………………….10

2.3 最优停时在美式期权中的应用 11

2.3.1 简介 11

2.3.2 各参数估计 12

2.3.3 解决方案的推导 13

2.3.4 解决方案的最优性 17

2.3.5 数值计算 18

总结与展望 20

参考文献 22

前言

本文首先介绍了有关期权的基础知识，通过学习布朗运动、伊藤引理、马尔科夫链和随机微分方程等知识来全面了解美式期权的原理。

主要内容部分，通过学习Black-Scholes定价模型来学习期权定价，并且学习了Black-Scholes模型公式的推导以及分析了它的局限性。继而学习了二叉树模型和蒙特卡洛模拟方法来对美式期权进行定价，并且分析了该种方法的区别和联系。

最后一部分的内容是最优停时在美式期权中的应用，通过估计模型中的几个参数分析了牛市和熊市两种情况下最优停时的价格以及其相对应的收益。

学习研究时间比较短，论文不足之处恳请各位老师批评指正。

预备知识

随机过程

布朗运动

布朗运动是用维纳过程描述的，一个以诺伯特·维纳命名的连续时间随机过程。它是最著名的Levy过程之一(具有平稳无关的增量)，并且频繁地出现在应用数学、经济学和物理学中。

Weiner过程具有四大特征:

1. ；
2. 几乎是肯定连续的;
3. 有独立增量;
4. .

布朗运动是武器随机模型中最有用的装置之一。这个以英国植物学家罗伯特·布朗(Robert Brown)的名字命名的奇迹，最初被认为是由一个小分子表现出来的不可预测的运动，它对流体或气体十分着迷。从这一点开始，它就在可测的拟合完整性、检验库存价值水平和量子力学等领域被明显地连接起来。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦第一次澄清了这一奇迹，他接受了这样一个被淹没的分子被包裹介质中的粒子不断炮轰的事实。( 鼓掌 )它常被称为标准布朗运动，以罗伯特·布朗(RobertBrown)的名字命名，它是最著名的Levy形式之一，在纯数学和应用数学、经济学中不规则地发生。

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