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摘 要

本文通过对四元数域估计器各路性能优势解耦，论证了四元数估计器的各路性能优劣。

复数域中估计器数值估计的问题可以推广到四元数域中，实验数据表明在四元数域中，宽线性估计（WL）的性能优于半宽线性估计（SWL）以及严格线性估计（SL）的性能。传统的理论分析只涉及到标准MSE分析，但是由于其单自由度特性的限制，尤其是对于非圆信号，往往不能完全表征信号的二阶统计信息，只能理论证明估计器间总体MSE的优劣。通过引入四元数域互补均方误差（CMSE）的概念，并结合MSE分析来对估计器每路性能进行解耦，提取出两路和以及单路的估计器性能优势，论证了WL估计较SWL估计每一路的性能优势，SWL估计较SL估计的特定两路和性能优势，并讨论了WL退化为SWL和SWL退化为SL的情况，这一结论只通过标准MSE分析是无法完成的。最后通过实验仿真，进一步补充了理论证明的结论。

关键词：宽线性估计，严格线性估计，非圆，互补均方误差（CMSE），性能解耦

Abstract

In this paper, by decoupling the performance advantages of the quaternion domain estimators, the performance of each of the quaternion estimators was discussed.

The problem of numerical estimation in the complex domain can be generalized to the quaternion domain. Experimental evidence exists of performance advantages of widely linear (WL) estimator over the conventional strictly linear (SL) as well as the semi-WL (SWL) estimators. Only standard MSE analysis is involved in traditional theoretical analysis, but due to the limitation of its single degree of freedom, especially for non-circular signals, the second-order statistical information of the signal is often not fully characterized. Only the overall MSE performance advantages between the estimators can be theoretically proved in that reason. By introducing the concept of quaternion domain complementary mean square error (CMSE) and combining the MSE analysis to decouple the performance of each channel of the estimator, the two-channels and single-channel estimator performance advantages are extracted. It’s proved that performance advantages of each channel exist of WL estimator over SWL estimator and performance advantages of addition of specific two channels exist of SWL estimator over SL estimator. The cases of WL degrading to SWL, and SWL to SL are also discussed. This conclusion cannot be achieved only through standard MSE analysis. Finally, through experimental simulation, the theoretical proof is further supplemented.

KEY WORDS: widely linear (WL), strictly linear (SL), non-circular, complementary mean square error (CMSE), performance decoupling

目 录

摘要 I

Abstract II

第一章 复数域WL与SL的性能比较 1

1.1 复数域估计器及其应用简介 1

1.2 复数域WL和SL估计器参数确定 2

1.2.1 复数域估计器最优化参数确定方法概述 2

1.2.2 复数域WL估计器最优化参数确定 2

1.2.3 复数域SL估计器最优化参数确定 4

1.3 复数域WL和SL估计器均方性能分析 4

1.3.1 复数域WL估计器的MSE 5

1.3.2 复数域WL估计器的MSE 5

1.3.3 复数域WL和SL估计器MSE比较 6

1.4 复数域WL和SL估计器性能优势解耦 7

1.4.1 复数域估计器各路性能优势解耦 7

1.4.2 复数域WL估计器CMSE计算 8

1.4.3 复数域SL估计器CMSE计算 9

1.4.4 复数域估计器ΔCMSE计算 9

1.5 复数域WL和SL估计器不同情况下各路性能比较 10

1.5.1 情况一 10

1.5.2 情况二 10

1.5.3 情况三 11

1.6 本章小结 13

第二章 四元数域WL、SWL及SL 14

2.1 四元数在统计信号处理中的应用简介 14

2.2 四元数基本数学性质 14

2.2.1 四元数的基本概念和性质 14

2.2.2 四元数矩阵的常见性质 15

2.3 四元数域WL、SWL和SL估计器 15

2.4 四元数域WL、SWL和SL估计器参数确定 17

2.4.1 四元数域WL估计器参数确定 17

2.4.2 四元数域SWL估计器参数确定 19

2.4.3 四元数域SL估计器参数确定 20

2.5 四元数域WL、SWL和SL估计器均方性能分析 20

2.5.1 四元数域估计器MSE计算 20

2.5.2 四元数域WL估计器和SWL估计器MSE的比较 21

2.5.3 四元数域SWL估计器和SL估计器MSE的比较 23

2.6 本章小结 25

第三章 四元数域互补协方差基础上的性能解耦 26

3.1 四元数域估计器性能优势解耦 26

3.2 互补协方差的计算 29

3.2.1 四元数域WL估计器CMSE计算 29

3.2.2 四元数域SWL估计器CMSE计算 33

3.2.3 四元数域SL估计器CMSE计算 34

3.3 相对互补协方差的计算 35

3.3.1 WL-SWL相对互补协方差的计算 35

3.3.2 SWL-SL相对互补协方差的计算 38

3.4 本章小结 38

第四章 四元数域WL、SWL及SL的性能比较 41

4.1 四元数域估计器性能比较方法概述 41

4.2 四元数域WL和SWL估计器两路和性能比较 41

4.2.1 r i/j k路性能优势 41

4.2.2 r j/i k路性能优势 46

4.2.3 r k/i j路性能优势 49

4.3 四元数域WL和SWL估计器各路性能比较 50

4.3.1 r路与i路性能优势 51

4.3.2 j路与k路性能优势 56

4.4 四元数域SWL和SL估计器性能比较 61

4.4.1 四元数域SWL和SL估计器性能说明 61

4.4.2 四元数域SWL和SL估计器一般情况下的性能比较 62

4.4.3 四元数域SWL和SL估计器一个特殊情况下的性能比较 65

4.5 四元数域WL和SL估计器性能比较 67

4.5.1 四元数域WL和SL估计器性能说明 67

4.5.2 四元数域WL估计器性能最优性证明 67

4.6 本章小结 68

第五章 实验仿真 69

5.1 实验仿真概述 69

5.2 四元数域WL和SWL估计器仿真 69

5.3 四元数域SWL和SL估计器仿真 70

5.4 四元数域WL和SL估计器仿真 72

5.5 本章小结 72

致 谢 74

参考文献 75

复数域WL与SL的性能比较

复数域估计器及其应用简介

复数域的随机信号在许多科学工程领域都很常见，可以说是不可避免的，对于这类复数域上随机信号的研究兴趣主要着眼于具有鲁棒性的估计器设计。传统的统计信号处理中通常对二阶圆性[1][2]的复数域随机向量x∈进行讨论。

零均值这样一个限制性假设对于一个二阶圆的随机矢量信号x，它有一个旋转不变的概率分布，并且矢量x与它的复共轭x*不相关，或者等价地说，矢量x实部和虚部是不相关的，并且有相同的功率。二阶圆性的假设在许多方面的研究都是比较方便的，因为它简化了计算并且使得复值信号处理成为其实值部分的直接扩展，这样二阶统计性能可以只由协方差矩阵描述，即R = E[x],其中E[·]表示统计期望值，表示Hermitian转置算子。

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