论文总字数：19276字

目 录

一 简介

1.1大数据时代来临 3

1.2功率谱密度函数（PSD） 3

1.3 MATLAB简介 3

1.4本篇论文结构安排 3

二 经典谱分析 4

2.1经典谱分析数学基础 4

2.1.1傅里叶级数和傅里叶积分 4

2.1.2能谱与功率谱 6

2.1.3 离散傅里叶变换（DFP） 7

2.1.4 傅里叶积分对的离散化 8

2.1.5快速傅里叶变换（FFT）概述 8

2.2经典谱分析 9

2.2.1确定性时间序列的功率谱或能谱分析 9

2.2.2 随机时间序列的功率谱分析 11

2.2.3确定性时间序列的信号分析 11

2.2.4 随机时间序列功率谱分析的MATLAB实现 13

2.2.5 直接法或间接法的缺陷及改进方法 14

2.2.6 评价各种谱分析方法的标准 15

2.2.7“平滑”和“泄露”现象 16

三、基于差分方法的功率谱密度计算 18

3.1 差分法原理 18

3.2 基于差分法的功率谱密度 19

四、小波谱分析 22

五、验证与总结 26

5.1 标准数据计算验证与分析 26

5.2总结 27

参考文献 27

致谢…………………………………………………………………………………………… .28

时间序列的功率谱密度函数的计算理论与程序实现

——从经典谱分析到小波谱分析

胡鼎

，China

Abstract： Classical spectrum analysis method is a basic method of signal analysis. The basic theory of Fourier series and Fourier transform can be time-domain signal into a frequency signal, the classic spectrum analysis of a set of time series signals were analyzed by direct or indirect method separately, you can get a more accurate signal of this group physical properties and other characteristics, under normal conditions complicated by now, they are equivalent. But there are some problems in the classical spectrum analysis: when the data length is long enough, due to the relatively large variance and other reasons, it is estimated that poor performance. In addition to the classic spectrum analysis, and algorithm based on power spectral density difference method, it is based on the classical spectrum analysis and improvement of a step, so that higher data availability, the accuracy of screening data also have improved to some extent. Finally, the use of wavelet transform based on classical spectrum analysis mode can also make the data more smoothly, reducing the noise, making observations more clearly, and more accurately. But classical spectrum analysis of scientific data analysis is still a very important part of this paper describes the various methods of classical spectrum analysis as well as two other ways to improve after, not only from a theoretical analysis of the various methods of mass spectral analyzes Compare, and will be achieved through MATLAB intuitive.

 Keywords： Fourier transform, spectral analysis, MATLAB realization

一.简介

1.1大数据时代来临

在当今社会上，各行各业都充满了各种各样庞大的数据材料，而如何去利用处理好这些数据材料就是我们当前的一大挑战和任务。尤其在物理学和生物学等理工科中，数据分析的应用已经深入到各种研究领域中。而在这些领域中，不仅有大量的过去的有效数据等待发掘和分析，更是有未来大量的素材等待发现。快速有效的数据分析不仅可以帮助我们了解数据间的相关性质，也能根据数据分析中呈现的性质来进行未来趋势的预测！所以，大数据的时代已经来临，如何让数据分析更加高效更加精确则是时代的要求。

1.2功率谱密度函数（PSD）

功率谱密度函数是用来表示每单位的频率波所携带的总功率，即为在时间序列上的功率P是如何随频率f分布的。这里的功率被定义成为一段信号的值的平方。所以功率谱密度函数可以表示为一段信号谱的总功率除以它的频率的宽度，用公式表示就是：，即f单位频率间隔内的功率。

在功率谱分析当中有一些比较早的很经典的方式，而经典的谱分析是用来处理庞大而复杂的离散的信号的一种便利的方式。经典谱分析中的功率谱是随机信号处理的重要组成部分，并且已经有很长的历史经验。在过去的40多年里同时也得到了光速的发展。涉及到的学科范围有物理学、生物学、地球物理学、天体物理等等一系列的基础学科，被广泛地用于社会各个领域和人民的各种活动当中，是一个具有无穷潜力的研究领域。经典谱分析总体上可以划分成两个部分：一种是相关图法（间接法）；另一种是周期图法（直接法）。由于这两种方法得出的结果基本上是一致的，可以认为它们是等价的。通过直接法和间接法都可以得出较好的信号分析结果，但是也同时会有一些缺陷的存在，所以后来改进了一些方法其中改进得较好的方法就是小波谱分析。

1.3 MATLAB简介

MATLAB是现在国际上公认的在科技领域方面最为优秀的开发环境。1984年正式推出一直到现在保持一年两个版本的更新。MATLAB在数值分析、科学绘图、数字图像处理等等方面都有十分丰富不可缺少的应用。在做功率谱估计的时候，MATLAB能起到非常重要的作用，使用MATLAB画图能使我们更加直观的看到时间序列的数据信号被分析出来的结果。根据不同的图像显示，我们可以比较不同方法之间的区别与优缺点。然后，根据结果和需要分析的数据选取适当的方式惊醒功率谱的分析，这样就大大提高了工作效率。到目前为止（2016年5月），MATLAB最新版本为R2016a。

1.4 本篇论文结构安排

本篇论文将从五个部分来讲：第一部分是简介时代背景以及本文所要讨论的重点即功率谱密度和其MATLAB的基本应用的介绍；第二部分是详细介绍经典谱分析形成数学基础理论和发展的具体过程；第三部分是讨论一种新的在差分方法的基础上改进的计算功率谱的方法；第四部分是详细介绍小波谱分析的方法；第五部分是功率谱密度函数的应用以及在MATLAB上的实现和各种方法之间的比较和总结。

二.经典谱分析

2.1经典谱分析的数学基础

2.1.1傅里叶级数和傅里叶积分

（1）傅里叶级数

对任何一个自变量为时间的函数，如果它的周期是T，那么只要它还能满足狄利克雷边界条件，它就可以用傅里叶级数进行下面的展开：

(2.1.1)

其中k为正整数，且：

(2.1.2)

式(2.1.1)可以写成以下的复数形式：

(2.1.3)

其中：

(2.1.4)

（2）傅里叶级数向傅里叶积分过渡

其实就算不是周期函数的情况也可以看成是周期函数。只要将周期T看成是无限大的即当,就可以使傅里叶级数扩大使用范围到非周期函数。这时傅里叶级数要变换成为傅里叶积分。分析过程如下，将(2.1.4)式代入至(2.1.3)式，得：

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