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摘 要

定积分不等式的证明方法灵活多样,综合性和技巧性较强.本文先给出定积分的定义及性质,以及所需的证明原理;然后根据各类题型,利用各种技巧和方法归纳总结出利用泰勒公式,拉格朗日中值定理及构造辅助函数等七种证明方法来证明定积分不等式.

关键字:定积分,不等式,中值定理,辅助函数

Abstract: The proof of integral inequality is flexible, complex and skillful. Firstly, the paper gives the definitions and nature of definite integral, and the required proof of principle. Then, according to the kind of the questions, using various techniques and methods to summarize seven ways to prove the definite integral inequality, such as the use of Taylor formula ,Lagrange theorem and conduct the auxiliary functions.

Key words: integral, inequality, mean value theorem, the auxiliary function

目 录

1 引言……………………………………………………………………………4

2 预备知…………………………………………………………………………4

2.1 定积分的定义及性质………………………………………………………4

2.2 泰勒公式及泰勒定理………………………………………………………5

2.3 积分中值定理………………………………………………………………6

2.4 二重积分的性质……………………………………………………………6

2.5 施瓦兹不等式………………………………………………………………7

3 定积分不等式的若干证明方法………………………………………………7

3.1 构造辅助函数来证明定积分不等式………………………………………7

3.2 运用拉格朗日中值定理证明定积分不等式………………………………8

3.3 利用泰勒公式证明定积分不等式…………………………………………9

3.4 利用定积分中值定理证明定积分不等式 ………………………………10

3.5 由变上限函数的特性证明定积分不等式 ………………………………11

3.6 利用二重积分法证明定积分不等式 ……………………………………12

3.7 利用施瓦兹不等式证明定积分不等式 …………………………………12

结 论……………………………………………………………………………14

参 考 文 献 ……………………………………………………………………15

致 谢……………………………………………………………………………16

1 引言

不等式是数学分析中在进行计算和证明时经常用到的非常重要的工具,同时也是数学分析中研究的重要问题之一.不等式的研究对数学分析的发展起着巨大的推动作用.而微积分是高等数学中的重要内容,以它为工具能较好的研究函数的性态,定积分理论是微积分学的一个重要内容,定积分等式与不等式证明是常见问题,在学习过程中很多人感到难以把握证明的思想方法.定积分不等式的证明方法灵活多样,综合性和技巧性较强.我们可以根据不同题型的特点找到解决该类题型的方法.

有关定积分不等式的证明方法,目前已有许多作者进行了探讨.例如,文[1,2,3]介绍了一些关于证明定积分不等式的一些定理及性质;文[4,5,6]探讨了利用辅助函数证明定积分不等式的方法;文[7,8]介绍了运用了重积分来证明定积分不等式.另外,文[9,10,11]给出了关于证明定积分不等式的一些方法.本文的目的是系统地总结定积分不等式证明的若干方法.

根据不同定积分不等式的特征,我们可以采用不同的证明方法. 本文通过对典型例题的分析,总结了求定积分不等式的常用方法. 这些方法对高等数学中的定积分内容的学习将有一定的帮助.

2 预备知识

2.1 定积分的定义及性质

2.1.1 定积分的定义

设是定义在上的一个函数,是一个确定的实数,若对任给的一个整数,总存在某一个正数,使对的任何分割,以及在其上任意选取的点集,只要,就有

(1)

则称函数在区间上可积或黎曼可积,数成为在上的定积分或黎曼积分,记作

. (2)

2.1.2 定积分的基本性质

性质1 若在上可积,为常数,则在上也可积,且

. (3)

性质2 若,都在上可积,则在上也可积,且

. (4)

性质3 若,都在上可积,则在上也可积.

性质4 在上可积的充要条件是:任给,在和上都可积.此时

有等式

. (5)

性质5 设在省的可积函数.若,,则

. (6)

推论(积分不等式性) 若与为上的两个可积函数,且,,

则有

. (7)

性质6^[1] 若在上可积,则在上也可积,且

. (8)

2.2 泰勒公式及泰勒定理

2.2.1 泰勒公式

对于一般函数,设它在点存在直到阶导数.由这些导数构造一个次多项式

, (9)

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