浅谈中学数学中的反证法

论文总字数：6794字

摘 要

关键词：反证法，适用范围，假设

Abstract: Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view. In this article, we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps of it. Furthermore, we applied it in Mathematics in middle school.

Key word: Proof by contradiction, scope of application , hypothesis

目 录

1引言 4

2反证法的概述 4

3 反证法的适用范围 5

4运用反证法应该注意的问题 10

总结 11

参考文献 12

致谢 13

1 引言

1589年，意大利的科学家伽利略登上了比萨斜塔，同时丢了两个不同质量的铁球.用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的论断.而在此之前伽利略做了如下的推理论证：

假设假设亚里士多德的断言是正确的.设物体比物体的重量重很多，则应比先落地.现在把物体和绑在一起成为物体，则= .一方面，由于比要重，它应该比先落地.另一方面，由于比落得快，、一起的时候，应该是“拉了的后腿”迫使的下落速度减慢，所以，物体应该比后落地.这样一来，应比先落地又应比后落地，这样产生了矛盾，所以假设是不成立的.因此亚里士多德的断言是错误的.

伽利略的论证是有力的，逻辑性极强的，而伽利略的这种方法就是我们现在将要介绍的反证法.反证法在初中高中数学学习中有很多的运用，乃至大学或者更高的学习中都会用到反证法.它不仅是一种解题方法，更是一种锻炼学生逆向思维的手段.本文重点总结了反证法的概念，反证法的一般步骤，以及反证法的种类和适用范围等方面，同时指出了使用反证法时应该注意的问题.

2 反证法的概述

2.1 反证法的概念

反证法就是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发.根据命题的条件和已知的真命题，经过推理论证得出与已知事实（条件，公理，定义，定理，法则，公式等）相矛盾的结果.这样就证明了结论的否定是不成立的，从而间接的肯定了原命题的结论成立.”这种证明方法叫做反证法.

还有人将反证法总结为证明逆否命题的方法.他们认为证明原命题的真假，就是证明原命题的逆否命题是否成立.若一个命题为“若则”,当为真，则（其中表示命题的否定）为真，当为假，则为假.

2.2 运用反证法的步骤

运用反证法证题一般分为三个步骤：

1）假设原命题不成立；

2）从这个结论出发，经过推理论证得出矛盾；

3）由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.

即先提出假设，然后推出矛盾，最后肯定结论.

2.3 反证法的种类

应用反证法的关键在于归谬，因此，反证法又称为归谬法.按照反设所涉及到的情况多少，反证法可以分为归谬反证法和穷举反证法两种.

1）若结论的反面只有一种情况，那么，反设单一只须驳倒这种情况便可以达到反设的目的，这叫归谬反证法.

2）若结论的反面不止一种情况，那么，要将各个反面情形都一一驳倒，最终才能肯定原命题正确，这叫穷举反证法.

3 反证法的适用范围

我们知道，若一个数学命题形如“若A则B”式，一般都能够用反证法来证明.证题的实践告诉我们，下面几种命题用反证法来证明时，显得更加方便、有效.

3.1 否定性命题

否定性命题即结论以“没有……”、“不是……”、“不能……”等形式出现的命题.这样的命题在用直接证法时一般不易入手，而此时使用反证法则能另辟蹊径，有望成功.

例1 设、是公比不相等的两个等比数列.，证明数列不是等比数列.

证明 假设是等比数列.则 ,即

,

整理得到

.

因为 ，是等比数列，所以 , .由式可得

.

设 , ，则

.

因为 ，所以 .即 ，所以 与已知条件两个等比数列公比不相等矛盾.所以不是等比数列.

分析 在这题中要求证明不是等比数列，而直接证明一个数列不是等比数列并没有条件可寻，因此，在此时使用反证法，假设是等比数列，一个数列是等比数列是有条件的，这使得证明变得有迹可循.

3.2 限定性命题

限定性命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.这类命题在证明时巧妙运用反证法会给证明带来意想不到的简便效果.

例2 把44位同学分成若干小组，使每组至少有1人，且任意两组的人数不相等，则证明至多分成8组.

证明 假设44位同学分成组，且 .因为任意两组人数不相等，所以 个小组的同学总共至少有人数为

.

因为，所以总共人数人，超过了已知的44人，与已知矛盾.所以 至多分成8组.

例3 设,则，，至少有一个不大于.

证明 假设，，都大于.即

, , .

将三个式子相加，得

. （1）

又因为 , ,.将三个式子相加，得

. （2）

结合（1）（2）两式，发现相互矛盾,则假设是错误的.所以，，至少有一个不大于.

3.3 无穷性命题

无穷性命题即涉及到各种“无限”结论的命题.证明无穷性命题时，直接证明故然能够得到结论，但运用反证法来证明可以简易很多.

例4证明 质数的个数是无穷的.

证明 假设质数的个数是有限的.不妨设有个质数，则可以将全体质数列举如下

.

令

，

其中，是自然数.且不能被中任何一数整除，所以是质数.这与假设只有个质数矛盾，因此质数的个数是无穷的.

3.4 唯一性命题

唯一性命题即结论有“有且仅有”，“只有一个”等词语的论题.由做题的实践经验告诉我们，在证明唯一性命题时，使用反证法最为直接有效.

例5 证明 过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行.

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