斐波那契数列通项公式的证明及简单应用

论文总字数：6188字

摘 要

关键词：斐波那契数列，证明，应用，自然界

Abstract: The Fibonacci sequence is an important branch in the series and it plays a very important role in mathematics. This paper presents several proofs of the general formula of the Fibonacci sequence, introduces its application in the field of mathematics, nature and social life.

Keywords: Fibonacci sequence , proof , application, nature

目 录

1 引言 4

2 斐波那契数列的通项公式的证明 4

2.1 斐波那契数列通项公式的第一种证明 5

2.2 斐波那契数列通项公式的第二种证明 5

2.3 斐波那契数列通项公式的第三种证明 6

2.4 斐波那契数列通项公式的第四种证明 7

3 斐波那契数列的应用 9

3.1 斐波那契数列在几何中的应用 9

3.2 斐波那契数列在二进制中的应用 9

3.3 斐波那契数列在自然界中的应用 10

3.4 斐波那契数列在预测灾害中的应用 11

结论 12

参考文献 13

致谢 14

1 引言

在欧洲历史上，有一位非常著名的数学家斐波那契. 他在1202年写的一本名字叫做《算术》的数学书中，提出了一个有名的“关于兔子生兔子的数学问题”，即有一个人把一对小兔子关在一个大房间里喂养起来，假定一对小兔子经过一个月以后就能长成一对大兔子，而一对大兔子经过一个月之后就能生出一对小兔子，问经过一年以后总共有多少对兔子生出来？这是一个算术问题，但却不能用普通的算术公式来进行计算^[1].

假设一开始只有一对新出生的小兔子，我们可以对兔子的总数做出如下的分析：第一个月只有一对兔子；第三个月，这一对兔子A繁殖出了一对小兔子，所以一共有了两对兔子；第四个月，兔子又繁殖出了一对小兔子，而兔子还没有繁殖能力，所以一共有三对兔子；第五个月，兔子分别生出一对小兔子，而兔子还没有繁殖能力，所以一共有了五对兔子……以此类推，我们可以得到下面的一个表格：

由知道，只由一对小兔子，经过三年半时间就可以繁殖为二亿六千七百九十一万又四千二百九十六对兔子，由于兔子不会以这样快的速度生育，所以这不过是一个假想的问题. 为解决这个关于兔子的问题，斐波那契引进了一个重要的数列：斐波那契数列，其定义为.

斐波那契数列自问世以来一直受到世界各地数学家的追捧，其在数学以及社会生活中的应用也越来越显著. 越来越多的研究显示，自然界中的很多植物和斐波那契数列有着密不可分的联系，例如不少花儿的花瓣数是斐波那契数. 同样，斐波那契数列在社会生活中也得到越来越广泛的运用，人们利用斐波那契数列来解决数学中的难题，利用它来预测股市的涨跌，甚至还可以用它来预测自然灾害的周期. 所以说斐波那契数列给带我们带来了很多的益处，它的很多应用还有待我们的发现，对斐波那契数列的研究是永远没有止境的.

对于斐波那契数列，不少文献都作了深入的研究. 如闫萍在“斐波那契多项式与斐波那契数列”一文中给出了斐波那契多项式的解析表达式，证明其系数表构成斜杨辉三角形^[2]. 段淑娟为了更方便、更简洁地描述和表示斐波那契数列，将斐波那契数列与矩阵和行列式结合起来，得到了用矩阵的（1,1）分量或（2,2）分量以及行列式来表示斐波那契数列的一般项的结论 ^[3]. 李戈晶在“斐波那契数列和钟表艺术”一文中，通过对斐波那契数列的研究来体验钟表艺术中的美感，从而了解艺术的节奏性^[4].

2 斐波那契数列通项公式的证明

十八世纪初，棣美佛在其所著《分析集锦》中给出了斐波那契数列的通项表达式：

，

但是它并不是唯一的，它又称为Binet（比内）公式，这是以最初证明它的数学家比内命名的. 这是一个十分耐人寻味的等式：等式左边是正整数，等式右则是由含有无理数的表达式. 斐波那契的许多重要性质都可以通过它来完成，下面我们列举出证明这一通项公式的几种常用方法.

2.1 斐波那契数列通项公式的第一种证明

用数学归纳法.

.

设时结论成立，今考虑的情形. 注意到，及

从而命题对时真，因而对任何自然数公式都成立.

2.2 斐波那契数列通项公式的第二种证明

用等比数列的递推公式.

若等比数列满足递推公式：

(1)

设，则(1)式变为：

.

所以为：

.

如果满足：

，

那么有 .

如若将

，

各项相加，得：

,

易见也满足(1)式，那么若就满足斐波那契数列满足的所有条件.

所以有：

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