浅谈圆周率π

论文总字数：7406字

摘 要

关键词：圆周率π，发展时期，计算π，趣闻轶事

Abstract：In this paper, according to the characteristics of calculating PI. We introduce and analyze on how to calculate PI. In addition, we also present the development of PI, and illustrating its role in mathematics. At last, some anecdotes about PI are also presented in this paper.

Keywords： PI, development，calculating, anecdotes

目录

1 引言……………………………………………………………… 5

2 圆周率计算发展的四个阶段…………………………………… 5

2.1 实验获取阶段………………………………………………… 5

2.2 几何算法阶段………………………………………………… 5

2.2.1 阿基米德的思想…………………………………………… 6

2.2.2 刘徽的割圆术……………………………………………… 6

2.2.3 祖冲之的成就……………………………………………… 7

2.3 分析算法阶段………………………………………………… 8

2.4 计算机的运用………………………………………………… 9

3 π的作用………………………………………………………… 9

4 有关π的趣闻轶事……………………………………………… 10

4.1 竹片算出的大数目…………………………………………… 10

4.2 用π值作为墓志铭…………………………………………… 10

4.3 π值精确到10亿位 ………………………………………… 10

4.4 π是记忆“口决”故事……………………………………… 11

结论 ………………………………………………………………… 12

参考文献 …………………………………………………………… 13

致谢 ………………………………………………………………… 14

浅谈圆周率π

1 引言

圆周率π是数学中的一个重要的常数，取自希腊语“周围———πúρωαπó”的第一个字母，它表示圆周长与直径之比，是迄今为止计算时间最长、计算得到位数最多的一个常数. 圆周率在各个时期的文明中都是一个耀眼的明珠，它往往能在一定程度上折射出这个时期各个国家的数学发展水平，而π的发展史也是数学计算方法的发展史.

本文通过前人对π的计算历程进行总结，根据计算特点，将π值计算分为四个阶段：实验获取阶段，几何算法阶段，分析算法阶段，计算机时代圆周率的计算. 下面对各个时期具有代表性的计算方法进行简单的介绍.

2 圆周率计算方法发展的四个阶段

2.1 实验获取阶段

人们最初求得圆周率的数值是通过直接观测或实物度量，这样可以求出比较粗略的π值. 通过实验对π进行估算，这是计算π的第一阶段. 最早探求π值的应该是古巴比伦人，大约在公元前二千年，他们计算出π的值约为. 在还没有笔和纸的时候，他们通过用绳子在沙滩上画圆，再用另一根绳子测量出直径，以直径为单位一，沿着圆周度量，发现大概是3次多一点. 假设那一点点忽略不计，那么π就约等于3. 最早的文字记载是基督教《圣经》中的章节，为了测量所罗门修建的一个圆形容器，使用的π值为3. 因此在古代世界，实际上长期使用这个数值.

我国古代也长期使用这个粗略而简单实用的数值，三国时期刘徽的“圆径一而周三”曾广为流传. 我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这一结论. 东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准. 后人称之为“古率”.

早期的人们还使用了其它粗糙的方法，比如在圆周上摆谷粒，用数谷粒数量和方形对比得到数值. 这一阶段的人们主要通过一些常用的测量工具和自制的圆来探索圆周率，不论从计算方法还是计算工具来看，他们对圆周率的探索并不是很科学、很精确的.

2.2 几何算法阶段

通过直接观察或实物度量所得到的π值是不精确的，但广大数学爱好者探索π精确值的脚步并没有停留，在众多数学家的努力下，π值的计算进入了科学阶段——几何算法阶段.

2.2.1 阿基米德的思想

真正使圆周率的计算建立在科学基础上的第一人是古希腊伟大的数学家阿基米德( Archimedes，公元前287－公元前212)，是他首先提出了借助数学过程而不是通过测量来精确π值的，他的方法被称为“穷竭法”. 公元前240年，阿基米德在他的著作《圆的度量》中这样指出：从圆的内接和外切正六边形开始，每次增加一倍边数，用一系列的内接和外切正多边形来穷竭圆的周长，从而得到圆周与半径之比大约在和之间，即

（如图1). 在这本书中，阿基米德第一次用上、下界来确定π的近似值，而且提供了误差的估算方法和计算 .数学史上认为，这是计算π值的第一次科学尝试，在随后的700年里，这个数值一直是“最精确”的.

图1

2.2.2 刘徽的割圆术

在我国，九章算术中的《方田》章中有这样两道题：31题：“今有圆田，周三十步，径十步，问为田几何？ 答曰：七十五步.”32题：“又有圆田，周一百八十一步，径六十步三分步之一，问为田几何？ 答曰：十一亩九十步十二分步之一.”公元263年左右，我国数学家刘徽(生于公元250年左右)用他的割圆术开始了我国数学发展史上对圆周率进行研究的新篇章. 刘徽在注释《九章算术》时独立地发现了这种用几何方法求圆周率的方法，“割之弥细，所失弥少，割之又割至少不可割，则与圆合体而无所失矣”，这反映了刘徽用极限的方法求圆周率的思想,他称之为“割圆术”. 与阿基米德不同的是，刘徽只用圆内接正多边形，加上每个边和外切线组成的小矩形，就可以确定圆面积的上、下界，从而确定圆周率的上下界.

图2

刘徽算出了圆内接正3072边形的面积，得到圆周率的近似值为，约3.1416，人们为纪念他称之为“徽率”.具体方法如下：如图2所示，设

==

(表示正六边形的边长，的表示正十二边形的边长)

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