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摘 要

关键词：积分中值定理，极限，积分不等式，单调性

Abstract: The contents of this thesis is the application of value theorem of integral in the pespective of determine the sequence, integral inequality and the monotonicity. In this paper, we summarize and conclude the considerations of using value theorem during solving the specific mathematical problems.

Keywords: the integral mean value theorem, limit, integral inequality, monotonicity.

目 录

1 引言...................................................................5

2 积分中值定理..........................................................5

2.1 积分第一中值定理...................................................5

2.2 推广的积分第一中值定理............................................5

2.3 积分中值定理解题应注意的事项.....................................5

3 积分中值定理在解题中的应用..........................................6

3.1 积分中值定理用于确定数列极限.....................................6

3.2 积分中值定理用于确定函数极限.....................................7

3.3 积分中值定理用来估计定积分的值...................................8

3.4 积分中值定理用来证明中值的存在性命题............................8

3.5 积分中值定理用来证明积分不等式...................................9

3.6 积分中值定理用来证明函数单调性...................................9

3.7 积分中值定理求函数在一个区间上的平均值.........................10

3.8 积分中值定理来确定积分的符号.....................................11

3.9 积分中值定理在导函数推广的中应用................................12

4.0 用积分中值定理来证明一些定理.....................................12

结论 .....................................................................13

参考文献.................................................................14

致谢......................................................................15

1 引言

积分中值定理是《数学分析》的重要内容，用积分中值定理可以求某些定积分的极限，不等式及点的存在性问题，且方法灵活，使问题简单化.本文讲述了积分中值定理在解题时的注意事项和在求极限，积分不等式等方面的应用.

2 积分中值定理

2.1 积分第一中值定理

若在区间上连续,则在上至少存在一点使得

.

2.2 推广的积分第一中值定理

若在闭区间上连续,且在上不变号,则在至少存在一点,使得

2.3 积分中值定理解题应注意的事项

由于积分中值定理可以使积分号去掉,从而使问题简化,对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式和不等式,也可以考虑使用积分中值定理.
在使用积分中值定理时要注意以下几点：

(1)在应用中要注意被积函数在区间上连续这一条件,否则,结论不一定成立.

例如 显然在处间断.

由于

但在上,,所以,对任何都不能使

(2)定理中的在区间上不变号这个条件也不能去掉.

例如 令

由于

,

但

所以,不存在

使

(3)定理中所指出的并不一定是唯一的,也不一定必须是的内点.

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