洛必达法则的应用

论文总字数：10223字

摘 要

洛必达法则是数学分析中解不定式极限的一个重要工具.本文首先对洛必达法则的适用范围和注意事项进行了具体的分析，并结合例题说明.其次，探讨了洛必达法则在二元函数中的应用并举例说明，并把洛必达法则的应用推广到数列极限来扩大洛必达法则的使用条件.同时，通过例题说明在使用洛必达法则时能够与其他求极限的方法结合起来使用使得更加方便.最后通过例题说明了洛必达法则在其他情形的应用，展示了洛必达法则在极限计算中的重要作用.

关键词：洛必达法则，不定式，数列极限，二元函数

Abstract: L"Hospital Rule is an important tool in solving infinitive limit in mathematical analysis. This thesis first analyses the applicable range and precautions of L"Hospital Rule in details, and then illustrates them by some practical examples. Secondly, the thesis discusses the application of L"Hospital Rule in binary function with some examples. It enlarges the application of L"Hospital Rule to the solution of the limit of a sequence, thus broadening the applicable conditions of L"Hospital Rule. It also shows with examples that the application of L"Hospital Rule can be combined with other ways of solving limits, which makes it more convenient. Finally, the thesis gives some examples to show the application of L"Hospital Rule in other situations, which presents the vital role of L"Hospital Rule in solving limits.

Keywords：L"Hospital Rule,infinitive,sequence limit,function of two variables

目 录

1 引言 4

2 洛必达法则基本定理 4

3 利用洛必达法则计算不定式极限 4

3.1 两个基本类型的不定式极限 4

3.2 其他类型的不定式极限 6

3.3 洛必达法则的注意事项 8

4 洛必达法则在数列极限中的应用 10

4.1 利用归结原则把数列极限归结为函数极限 11

4.2 数列中的洛必达法则基本定理 11

5 二元函数中的洛必达法则基本定理 13

6 洛必达法则在其他情形的应用 17

结 论 18

参考文献 19

致 谢 20

1 引言

洛必达法则在解不定式极限中是一个常用的工具，所以掌握洛必达法则是必要的.洛必达法则在其他方面有相关的应用，但洛必达法则也有需要注意的地方，本文提出问题时通过一些例题进行了分析.

2 洛必达法则基本定理

定理 若函数和满足

1);

2)在点的某空心邻域内两者都可导,且;

3)(可以为实数,也可以为,);

则

.

注意 将换成 , , , ,只要能够修改条件2)中的邻域,也可以得到相同的结论.

定理 若函数和满足

1. ;
2. 在的某右邻域内两者都可导,且;
3. (可以为实数,也可以为,);

则

.

注意 上述结论对于 , 或 ,等情形也成立.

3 利用洛必达法则计算不定式极限

3.1 两个基本类型的不定式极限

当计算不定式极限时首先要做的不是毫无章法的乱套公式得出答案,那样只适用于一些简单的题目,而面对形式复杂的题目时就束手无策,所以第一步应该考虑求极限有哪些方法，我们从学习数学分析以来大致学过一些方法.在这里,我们主要探讨用洛必达法则求极限,通过洛必达法则使计算极限的过程更为简化、更为清晰明朗.下面用例题来具体说明.

例1 求.

解 由于,,并在点的邻域内两者都可导,且 ,又,

故

.

注意 若仍是型不定式极限,并且符合条件,我们能够再次使用洛必达法则,即观察极限是否存在,并且这时候的和在的某邻域内必须满足上述条件.

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