一#8203;阶#8203;常#8203;微#8203;分#8203;方#8203;程#8203;初#8203;等#8203;解#8203;法探讨及应用

论文总字数：5277字

摘 要

常微分方程的初等解法包括初等积分法，归纳一阶微分方程的部分初等解法，相当于把微分方程的求解问题化为积分的问题.在本文中，每一部分对一阶微分方程的初等解法分三步进行，第一，一阶微分方程的基本知识和性质；第二，一阶微分方程的解法；第三，一阶微分方程解法的应用举例.

关键词：变量分离，常数变易法，全微分方程，一阶隐方程

Abstract: The elementary solution of ordinary differential equations contains elementary integral method, this thesis summarizes some elementary solution of first order differential equations, that is, converts the problem of solving differential equations into integral problem. In this thesis, each part is divided into three steps. The first section gives the basic knowledge and properties of first order differential equations; Then the second section prepares the solution of first order differential equations; The third section is devoted to the application of solution of one order differential equations.

Keywords: separation of variables, constants, variation, full-differential equations, implicit equations of the first order

目录

1引言 4

2变量可分离方程以及可化为变量可分离方程的类型 4

2.1基本知识和性质 4

2.2方程的解法 4

2.3应用举例 6

3线性方程和常数变易法 7

3.1基本知识和性质 7

3.2方程的解法 7

3.3应用举例 8

4全微分方程 8

4.1基本知识和性质 9

4.2方程的解法 9

4.3应用举例 10

5一阶隐式微分方程 11

5.1基本知识和性质 11

5.2方程解法 11

5.3应用举例 12

结论 14

参考文献 15

致谢 16

1引言

在常微分方程理论中，变量可分离方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程、可重新分项组合的一阶常微分方程是可以精确求解的.对于一般的一阶常微分方程，若可以经过恒等变形或者等价变形能转换成上述类型之一的方程，那么它就可以精确求解.本文将致力于研究若干“变换”的技巧和规律.

2变量可分离方程以及可化为变量可分离方程的类型

2.1基本知识和性质

形如

(2.1.1)

或者

(2.1.2)

的方程，称为变量可分离方程.(2.1.1)为显式变量可分离方程，(2.1.2)为微分形式变量可分离方程.

性质特点：方程右端函数式两个因式的乘积，其中一个因式只含有，另一个因式只含有.

形如

(2.1.3)

或者形如

(2.1.4)

的方程.

性质特点：对于(2.1.3)，令，可得，也就是变量可分离方程.对于(2.1.4)，经过适当变换可化为(2.1.3)进行求解.

2.2方程的解法

对于(2.1.1)，采用变量分离，将方程的两端化为分别含有一个变量的函数及其微分的形式

两边同时积分

求出积分，得到通解，其中和分别是和的一个原函数.

对于(2.1.2)，同样采取变量分离，得到形如的方程，接下来解法同(2.1.1).

对于(2.1.3)，令，

得到

两边同时求导得到

带入(2.1.3)得到，也就是化为变量可分离方程，再采用变量可分离方程的解法技巧求解.

对于(2.1.4)，该方程的求解需根据常数的值分三种情况进行讨论：

当时，(2.1.4)式可变形为

令得

，

于是可得，此时就可根据(2.1.3)所化得的求解了；

当，即时，设,方程(2.1.4)可化为

令，则，

于是，此时又可采用(2.1.3)的步骤求解了.

当，及不全为零时，方程组得到两直线点

（这里或，这是由不全为零决定的.）

令，将其带入得到从而(2.1.4)可化为齐次方程,就可以采用齐次方程的求解方法来解决该问题.

2.3应用举例

例1 求解方程；

解 这是一个变量可分离方程，采用变量可分离方程的解法，分三步将其求出.

首先分离变量得到

然后公式两边积分

最后求出积分，为常数，加上特解即为方程解.

例2 求解方程；

解 移向变形得到

这就变成(2.1.3)的形式，采用(2.1.3)的解法，令，最终化为是一个变量可分离方程， 利用变量可分离方程的解法得到.

3线性方程和常数变易法

3.1基本知识和性质

形如

的方程成为一阶线性微分方程，其中和是已知连续函数.

当时

(3.1.1)

为一阶齐次线性微分方程；

当时

(3.1.2)

称为一阶非齐次性微分方程.

性质特点：对于 (3.1.1)，经过变形移向，就是变量可分离方程.对于 (3.1.2)，特殊情形就是 (3.1.1).

3.2方程的解法

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