论文总字数：4104字

摘 要

关键词：二项式定理, 展开式, 系数

Abstract: Binomial theorem is the important content in the high school mathematics. In this paper, the use of binomial theorem are discussed and presented, and we also classify and analyse the highlights in the college entrance examination for reference.

Keywords: binomial theorem ,expansion, coefficient

目 录

一、 引言 4

二、 二项式概念和性质 4

2.1 概念 4

2.2 性质 4

三、 几种运用二项式定理的方法 5

3 .1 公式法 5

3.2 放缩法 5

3.3 赋值法 6

四、 二项式定理在高考中出现的形式 6

4.1 求奇偶项 6

4.2 特定项 7

4.3 在不等式中应用 7

4.4 在恒等式中应用 7

结论 9

参考文献 10

致谢 11

引言

二项式定理是中学数学中的一个重要定理，其形成是组合知识的应用，同时也是进一步学概率统计的准备知识，在有些的数学运算过程中，假如直接计算，会增加算量，而且容易出错，利用二项式定理的解决方案将会使计算量减少，二项式定理的检查，主要是由其展开式和通项公式为内容，以容易题、客观题为主，有时也与其他知识，如函数、不等式是知识的交叉口.同时，二项式定理作为高考数学中必考的一部分，对于它的出现形式、解题技巧都有一定的讲究，如何在最短的时间里，用最好的方法解决问题，成了高考所要达到的目标.

二、二项式概念和性质

2．1概念

2.1.1 二项式定理：右侧的多项式，叫做的二项展开式，它共有项.其中各项系数（r=0,1,2,…,n）.

2.1.2 通项公式：式中的项计作二项式的通项，共项，计作即: 称为二项展开式的通项公式 .

2．2性质

2.2.1 距两端等距离的二项式系数相等，即.

2.2.2 二项式系数的中间项或中间两项的二项式系数最大.当n为偶数时，中间一项（即第项）的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项（即第和第项）的二项式系数最大.

2.2.3 二项展开式中，各项系数和为，即：.

2.2.4 二项展开式中，奇数项系数的和等于偶数项系数的和，都等于，即:

.

2.2.5 以二项式定理从左侧到右侧的使用为展开，那么从右侧到左侧的使用可以化简、求和和证明.这个公式的逆用功能不可忽视.

2.2.6 的展开式具有如下性质：

（1）展开式的项数：共项.

（2）展开式中每一项的指数：和的指数和为，即二项展开式各项的次数就是二项式的次数，指数由逐次减1直到0，字母按升幂排列，字母的指数顺次降幂分列，指数从0起逐项加1到.

三、几种求二项式定理的方法

3．1 公式法

利用通项公式求展开式的特定项包括最大的项、有理项、中间的项、求常数项及这些特定项的系数的问题.公式法比较直观，容易掌握，关键在于熟练掌握，不能搞混淆.

例1 求(2005年湖北高考)展开式中整理后的常数.

解：把三项看作两项展开：，，；；

， ，故展开式的常数项为：

.

注：公式法是一种常见的方法，也是最基本的方法，简单直观，容易入手.用公式解答，说明题目的难度并不大，重点在于熟练掌握二项式定理的基本性质及其应用.

3．2 放缩法

放缩法是不等式的证明中一种非常重要的方法，也是一种常用的方法.在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果.但放缩的范围较难掌控，经常出现放缩后得不出结论或得出相反结论的情况.因此，缩放方法的运用，如何确定缩放的目标是特别重要的.

例2 .

证：；

，

.

注：放缩法 虽然比较常见，但是正真掌握并熟练运用确实有难度，具体的题目，有时候就算知道运用放缩法来解决，但还是把握的不好，要么放的太多，要么缩的不够，这个方法相对而言，还是比较难掌握的.对于本题，既要放又要缩，难度还是蛮大的.

3. 3 赋值法

赋值法就是给代数式(或方程或函数表达式)中的某个或某些字母赋予一个特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法表现出来的是一般到特殊的转变思维，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为的明显，通常令=0，=1或=-1.

例3 已知求

(1).

(2).

解: 令;

.

;.

(2) 求的展开式中各项系数的和，

.

注：赋值法也算是一种简便方法，只要能想到赋值，那么基本问题不会太大，也同时需要选择对的赋值，就如本题第一问，赋值1，轻松解决问题，第二问，咋一看好像无从下手，很复杂，如果哦能效仿第一问，利用赋值，便可以相应求出来.

四、 二项式定理在高考中出现的形式

4.1 求奇偶项

二项式系数的奇偶项.故名思议第一项、第二项、第三项…….为奇数项，第二项、第四项……为偶数项，在处理二项展开式系数和一些较灵活的题目时,一方面赋于变量多个特殊值,另一方面化归成基本的数学模型结合代数的一些基本变形方法求之.

例4 ,

.

解：因为为正，而为负，所以，

，赋予二项式中可得：

.

注：求二项式奇偶项的问题，需要用到上面所讲的赋值法，搞清楚奇偶项代表什么，同时需要知道题目所要解答的问题，分析问题，简化所要求的问题，如本题，将 转化为，然后通过赋值，求出结果.

4. 2 特定项

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：4104字