浅谈行列式的计算方法

论文总字数：4606字

摘 要

关键字：阶行列式定义, 性质, 归纳, 计算, 方法

Abstract: The calculation of the determinant is one of the important contents of advanced algebra course. There are many flexible kinds of, the calculation method of determinant, it is not easy to maste. This article mainly discusses several common properties of determinant, and summarizs the related calculation method.

Keywords: the definition of the n-order determinant, property, induction, calculation, method

目 录

1 引言 4

2 级行列式的定义 4

3 级行列式的相关性质 5

4 级行列式的计算方法 5

结论 12

参考文献 13

致谢 14

1 引言

对于行列式, 我们不仅要研究它的定义和性质, 而且更重要的是要讨论和归纳所具有的计算方法, 如化三角法、降阶法, 这些都对行列式的观察提出更高的要求. 即行列式的特征. 尤其当行列式高阶时，更需要研究其计算方法. 故本文对行列式的计算方法进行了讨论, 并经过具体典型例题来阐述各计算方法的实用性.

行列式的性质作为高等代数的重要内容, 有着广泛的应用. 行列式的计算是掌握行列式的根本, 是连接线性方程组与其解的重要桥梁. 读者都会情不自禁的联想这些行列式的性质有哪些作用, 是怎样运用的, 又是通过什么方法结合在一起的.

书本上关于行列式的计算方法的内容很局限, 但是从它的重要性来看, 它的内容应该不会像书本上那么局限. 那么在此基础之上它可不可以研究规律并做进一步的归纳呢?如果可以归纳它又可以在哪些特征的行列式应用呢?本文正是对这些问题的进一步研究.

2 级行列式的定义

定义：级行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积

（1）

的代数和, 这里是1, 2, , n的一个排列, 每一项（1）都按下列规则带有符号：当是偶排列时, （5）带有正号, 当是奇排列时, （1）带有负号. 这一定义可写成

=,

这里表示对所有级排列求和.

3 级行列式的相关性质

性质1: 行列互换, 行列式不变.

性质2: 一行的公因子可以提出去, 或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式.

性质3: 如果某一行是两组数的和, 那么这个行列式就等于两个行列式的和, 而这两个行列式除这一行以外全与原来的行列式的对应的行一样.

性质4：若行列式中有两行相同, 那么行列式为零.

性质5：如果行列式中两行成比例, 那么行列式为零.

性质6：把一行的倍数加到另一行, 行列式不变.

性质7：对换行列式中两行的位置, 行列式反号.

4 级行列式的简单计算方法

一、定义法:

定义法是在行列式中含有较多零元素或是低阶的前提下, 可依据行列式的定义进行计算.

例1：计算级行列式 .

分析：观察该高阶行列式, 含有的零元素较多且规律的分布, 可以考虑用定义法.

解：按定义, 易见

,

得.

以上典型例题体现了定义法的具体应用, 除此之外遇到低于4阶行列式应优先考虑用定义法.

二、化三角法：

化三角法是综合利用行列式的性质将行列式化成三角形, 再进行计算.

例2：计算四级行列式.

分析：观察该低阶的行列式, 只是一个常见的数字行列式, 找不出其他的规律, 故采用化三角法进行计算.

解：

.

以上典型例题体现了化三角法的具体应用, 化三角法是计算常见的低阶数字行列式常用的一种最优先考虑的方法.

三、连加法：

连加法是根据行列式的性质, 可以变换行列式使某一行（或列）的元素均相等或者较多为零, 然后简化行列式的计算.

例3：计算级行列式.

分析：这个行列式虽然也是数字行列式, 也可用化三角法将其转化成上（下）三角的行列式, 但因为此行列式中的元素显然具有较强的规律性, 即各行元素之和为10, 所以选择连加法, 再运用化三角法计算.

解:

由以上例题可看出：若行列式中的各行（或列）的元素加起来都相等, 那么先把各行（或列）都加到某一行（或列）, 再化简可简化计算.

四、升阶法：

升阶法是在行列式值不变的前提下, 将一个阶行列式升阶为阶行列式, 使升阶后的行列式易于计算, 然后求出原来的行列式的值.

例4：计算级行列式的值.

分析：观察该行列式大多数元素都是. 那么把一行一列填到原行列式里, 然后以-1倍分别与其余行（或）相加, 则元素可全部变为零, 可简化行列式.

解:

.

由以上典型例题可看出：如果大多数元素都相同且分布规律的行列式, 可采用升阶法.

五、递推法：

递推法是利用行列式的性质, 把阶行列式通过行或列的初等变换或降阶化为同种形式的n-1阶行列式, 或阶数更低的行列式, 从而建立递推公式再利用递推公式求出原来的行列式的值.

例5、计算五阶行列式.

分析：行列式关于主对角线对称, 如果将行列式第一列展开可得

,

上述等式右边第二个行列式按第一行展开为

,

由此得到递推公式：.

解：

.

以上例子可以得出：具有某种“对称性”且按行（或列）展开后建立递推公式的行列

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