论文总字数：5702字

摘 要

关键词：一阶常微分方程,变量分离,解法

Abstract: In this paper, several kinds of the common solutions of differential equations are summarized combined with concrete examples for demonstration. We also discuss some common differential equation methods, and provide the relevant experience and methods of instruction by presentation forms of some examples of multi-solution to one problem.

Keywords: the first order ordinary differential equation , variable segregated , solving methods

目 录

1 引言 4

2 知识回顾 4

2.1 基本概念 4

2.2 变量可分离方程 4

2.3 齐次方程 4

2.4 一阶线性微分方程 4

2.5 全微分方程及积分因子 5

3 基本解法 5

3.1 变量可分离方程 5

3.1.1 类型一 5

3.1.2 类型二 6

3.2 齐次方程 6

3.2.1 类型一 6

3.2.2 类型二 6

3.2.3 类型三 6

3.3 一阶线性微分方程 7

3.4 伯努利方程 7

3.5 全微分方程 7

3.6 积分因子法 7

4 解法的应用 8

4.1 变量可分离方程的应用. 8

4.2 齐次方程的应用 8

4.3 一阶线性微分方程的应用 9

4.4 伯努利方程的应用 9

4.5 全微分方程及积分因子的应用 10

4.5 解法的综合应用 11

结论 13

参考文献 14

致谢 15

1 引言

几种常见的一阶常微分方程，如变量可分离方程、齐次方程、一阶微分方程、全微分方程，他们之间都有着密切的联系，而这几种常见的方程，也都有他们各自所对应的解法. 当然，他们各自所对应的解法之间，也都或多或少的存在着一些联系. 本文就是对这几种常见的方程介绍的基础上，再对他们各自所对应的解法进行总结和概括，然后结合典实例演示，并通过对一道一题多解的方程解法选择的应用，再对各解法的比较，选出一种更好的解法，为以后更加简便、快捷的解方程做铺垫.

2 知识回顾

2.1 基本概念

1.微分方程：联系着自变量、未知函数以及未知函数的某些导数的等式.

2.常微分方程：其中的未知函数只与一个自变量有关.

3.方程的阶数：在常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数.

2.2 变量可分离方程

形如

, (1.1)

或 (1.2)

的方程,.称为变量分离方程. 我们分别把（1.1）（1.2）称为显式变量可分离方程和微分形式变量可分离方程.

2.3 齐次方程

类型一 如果一阶显式方程

(1.3)

的右端函数能够改写成函数，那么称方程（1.3）为一阶齐次微分方程.

类型二 形如

, (1.4)

的方程不能直接采用变量分离, 但是可以通过变量转换后化为变量分离方程, 这里,,,,,均是常数.

2.4 一阶线性微分方程

1. 一阶线性微分方程的形式是

. （1.41）

如果，即

, （1.42）

那么称它为一阶线性齐次方程.若不恒为零，那么称（1.41）为一阶线性非齐次方程.

2.伯努利方程

形如

（1.43）

的方程，称为伯努利方程，是一种非线性的一阶微分方程.

2.5 全微分方程及积分因子

如果微分形式的一阶方程

（1.5）

的左端恰好是一个一元二次函数的全微分，即

, （1.6）

则称（1.5）是全微分方程或恰当微分方程，而函数称为微分式（1.6）的原函数.

如果存在连续可微函数, 使得

成为一全微分微分方程,我们则把为方程的一个积分因子.

3 基本解法

3.1 变量可分离方程

3.1.1 类型一

形如 .

解法：1、当时，经变换可得到，再两边积分可得到.

2、当时，则有根，因此很容易检验出，也是此微分方程的一解，当然，有的时候不论我们把通解的表达式中的任意常数，进行怎样的扩充，这个解也都不包含在其中，所以在解题时，就需要我们自己另行补充上，千万不能漏掉.

3.1.2 类型二

形如 .

解法：1、当时，经变换可得到，再两边积分可得结果；

2、当时，为原方程的解，当时，为原方程的解.

3.2 齐次方程

3.2.1 类型一

形如 .

解法：先令，则有，将其代入原方程得到，从而化成了变量可分离方程，再整理得到，于是得到关于的方程，然后再把=代入得到.

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