浅谈微分中值定理中的参数ξ的性质

论文总字数：5101字

摘 要

：本文研究微分中值定理中中间值的性质。微分中值定理指明了这些中间值的存在性，如果能够确定中间值的唯一性或有界性，即可把中间值看作为特殊的函数，利用函数中求函数极限的相关知识，得到研究中间值渐近性，无穷小等性质的一些方法。

关键词：微分中值定理，中间值，渐近性，无穷小

Abstract: In this thesis, we investigated the properties of the mean values in differential mean value theorems. The differential mean value theorems designated the existence of these mean values. If we confirmed the uniqueness or the boundary of these mean values, we could regard them as special functions and use the relevant knowledge calculating the limits of the functions to obtain some methods of studying the asymptotic and infinitesimal properties of mean values.

Key words: differential mean value theorem , mean value , asymptotic, infinitesimal

目 录

1 引言………………………………………………………………………4

2 预备知识…………………………………………………………………4

3 关于微分中值定理中中间值的研究……………………………………5

3.1 微分中值定理中中间值的探究方法……………………………………5

3.2 微分中值定理中间值的渐近性…………………………………………6

3.3 微分中值定理中间值的无穷小性质……………………………………10

结论………………………………………………………………………………12

参考文献…………………………………………………………………………13

致谢………………………………………………………………………………14

1 引言

微分中值定理建立了函数值和导数值之间的定性、定量关系，成为我们研究函数形态的有力工具。因此和微分中值定理有关的问题是数学分析课程学习的重点，也频繁出现在各个学校的历年数学分析考研试题中。但大部分题都只要求利用中间值的存在性，对中间值性质的讨论由于难度较大、较为深刻，出现的相对较少。

为了更好的研究微分中值定理中中间值的性质，可以通过把中间值看做未知量的特殊函数的方法进行研究，利用探索函数的性质来解决中间值的渐近性，高阶无穷小性质等一系列相关问题。

存在性和唯一性是证明中间值是函数的关键。微分中值定理说明了中间值的存在性，因此证明中间值的唯一性即可将中间值看成特殊函数。证明单调性是说明唯一性的较好方法。除此以外，中间值的有界性有时也可以帮助我们解决一些问题。

在本文的第2节中，我们介绍微分中值定理的一些基础知识，在第3节中，将分别讨论和中间值的唯一性、渐近性、无穷小性质等有关的一些问题。

2 预备知识

2.1 三大微分中值定理及其几何意义

2.1.1 罗尔中值定理及其几何意义

若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得。

几何意义：在每一点都可导的一段连续线段上，如果曲线的两端高度相等，则至少存在一条水平切线。

2.1.2 拉格朗日中值定理及其几何意义

若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得。

几何意义：在满足定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线。

2.1.3 柯西中值定理及其几何意义

若与在上连续，在内可导，且和不同时为零，，则存在，使得。

几何意义：由，所确定的参数曲线上至少有一点，该点的切线平行参数曲线两端点的连线。

2.2 三大微分中值定理的联系

2.2.1 罗尔中值定理推得拉格朗日中值定理

证明 作辅助函数

显然，，且在上满足罗尔定理的另外两个条件。故存在，使

移项即得证。

2.2.2 罗尔中值定理推得柯西中值定理

证明 作辅助函数

易见函数在上满足罗尔定理条件，故存在，使得

因为，移项后定理即得证。

2.2.3 柯西中值定理推得罗尔中值定理

证明 只需令,有条件知结论成立。

3 关于微分中值定理中中间值的研究

3.1 微分中值定理中中间值的探究方法

在研究中间值的时候，我们通过微分中值定理知道中间值的存在性，如果再知道它是唯一的或者有界的，那么，我们可以把中间值看做一个函数，从而能更进一步的探究它的性质。在说明中间值唯一性的时候，往往可以从单调性出发，由单调性得出唯一性的结论。这样，我们就能继续探索中间值的性质。

例1：设，在应用微分中值定理求，并证明是关于的函数。

解：显然在上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理，，即

解得 ，又因为

所以关于是单调，也就可以看做是的函数了。

3.2 微分中值定理中间值的渐近性

3.2.1 类型1:题目中没有涉及到复杂内容，直接求中间值的极限。在遇到这些题目时，由于涉及到中间值，我们往往需要灵活运用微分中值定理把中间值表达出来，然后利用诺必达法则等方法求解中间值的极限。

例2：设且，求.

解：由，得，于是

.

3.2.2 类型2: 题目中的函数在上满足微分中值定理的条件，但所求极限并非是中间值，而是中的。其实，这类题目只不过是通过代换变相的运用了微分中值定理，其解题思路和类型1类似，也是通过微分中值定理，把所要求的表示出来，再利用诺必达法则，泰勒展开式等方法求解极限。

例3：证明：

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