与正交矩阵有关的矩阵积分解问题

论文总字数：6059字

摘 要

关键词： 正交矩阵，积分解，QR分解

Abstract：Matrix is the main research object of higher algebra. The product decomposition and sum decomposition are common means to study Matrix. In this paper we discuss some product decompositions concerning the real matrix and the orthogonal matrix. On the basis, we also discuss some characteristics concerning ranks, determinants and eigenvalues of original matrix.

Keywords：Orthogonal matrix, integral solution, QR decomposition

目 录

1 引言…………………………………………………………………… 4

2 预备知识…………………………………………………………… 4

2.1 与正交矩阵有关的概念………………………………………… 4

2.2 正交矩阵的性质 ……………………………………………4

2.3 正交矩阵的特征值 …………………………………………… 5

3 矩阵的分解 ………………………………………………… 6

3.1矩阵的分解基本概念与结论…………………………………7

3.2与矩阵的QR分解相关的两个结论…………………………………8

3.3矩阵的QR分解的常用方法…………………………………9

4 与正交矩阵有关的其它积分解结论…………………………………12

结论 …………………………………………………………………… 17

参考文献……………………………………………………………… 18

1 引言

矩阵是数学研究中一类重要的工具之一, 有着非常广泛的应用.在线性方程组的讨论中，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，除线性方程组之外，还有大量的各种各样的问题也都提出矩阵的概念，并且这些问题的研究常常反映为有关矩阵的某些方面的研究，甚至于有些性质完全不同的.表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题以后却是相同的，这使矩阵成为数学中一个极其重要的应用广泛的概念，因而也就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象.

矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.把矩阵分解为形式比较简单或具有某种特性的一些矩阵的乘积，在矩阵理论的研究与应用中，都是十分重要的.矩阵的三角分解、正交三角分解、满秩分解将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的乘积,这些分解式能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等. 另一方面, 构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供了理论依据.

正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，在总结正交矩阵的主要性质的基础上，系统全面地给出与正交矩阵有关的矩阵积分解结果.

在本文中如未作其它说明，表示以为；和；表示方阵的次方幂；和均表示矩阵的转置；表示矩阵的逆矩阵；A表示欧氏空间的一个线性变换.

2 预备知识

2.1 与正交矩阵有关的概念

作为本文的需要，先给出本文要用到的一些概念.

定义1 阶实数矩阵称为正交矩阵，如果.

不难证明，下列条件是等价的．

(1) 是正交矩阵，

(2) ，

(3) ，

(4) 的个行向量是两两正交的单位向量，

(5) 的个列向量是两两正交的单位向量.

定义2 设为矩阵，若，则称为对称矩阵.

定义3 设，为的代数余子式，则称为的伴随矩阵.

设是阶正交矩阵，则.当时，称是第一类的.当时，称是第二类的.

定义4设A是是欧氏空间的一个线性变换，若，都有(AA,则称A为的一个正交变换.

定义5 设是欧氏空间，由两两正交的单位向量作成的基叫做标准正交基.

定义6 设是一个方阵，是复数，若有非零的维复列向量使，则称为的一个特征值，是的属于特征值的一个特征向量．

2.2正交矩阵的运算性质

由正交矩阵的定义及其等价条件可以证明正交矩阵有下列运算性质.

性质1设是阶正交矩阵，是整数，则、、、都是正交矩阵.

注：正交矩阵的和、差一般不是正交矩阵．如取,则都为正交矩阵，但，所以不是正交矩阵.显然也不是正交矩阵．

性质2 设正交矩阵，则是正交矩阵当且仅当．

证明 设是阶正交矩阵，,则，所以是正交矩阵当且仅当.

性质3 矩阵的伴随矩阵是正交矩阵的充分必要条件是它本身是正交矩阵．

证明 首先证明充分性．若是正交矩阵，则可逆，且也是正交矩阵，而，又因为，所以是正交矩阵.

其次证明必要性．若实矩阵的伴随矩阵是正交矩阵，则可逆，于是可逆.由于，故，又由于，故，由得，所以也是正交矩阵.

2.3正交矩阵的特征值

性质4 正交矩阵的特征值的模为1.

证明 设是正交矩阵的任一特征值，则存在使，取共轭转置得，于是，由于是正交矩阵，所以，而由有，所以，即的模为1.

特别的有

(1) 奇数维欧氏空间的第一类正交矩阵必以1作为其特征值.

(2) 偶数维欧氏空间的第二类正交矩阵必以-1作为其特征值.

事实上 设A是奇数维欧氏空间的第一类正交变换，其特征多项式为，

则.由于是的奇数次实多项式，故其非实根必共轭出现，所以可以记其为,则，而实根等于或.但，.故不可能全为（因为是奇数），所以必有一根是，同理偶数维欧氏空间的第一类正交变换比以作为其特征值.

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