可交换线性变换的性质及其应用

论文总字数：6071字

摘 要

：线性变换是线性代数的核心内容,而线性变换的很多性质都跟可交换性有关.本文在一般线性空间、有限维线性空间以及欧几里得空间中,研究了可交换线性变换的性质.并在线性变换与矩阵之间的转化关系的基础上,应用可交换线性变换的性质来解决相关的数学问题.

关键词：线性空间，线性变换，矩阵，可交换

Abstract: The linear transformation is the core content of linear algebra, while many properties of the linear transformation are related to commutativity. I studied the properties of commutative linear transformations in the general linear space, finite dimensional linear space and Euclidean space. Based on the theory of transformation between the linear transformation and matrix, this paper apply the properties of commutative linear transformations to solve relevant mathematical problems.

Key words: linear space, linear transformation, matrix, commutative

目 录

1 预备知识…………………………………………………………… 4

1.1 基本定义…………………………………………………………… 4

1.2线性变换与矩阵之间的关系…………………………………… 4

2 可交换线性变换的性质…………………………………………… 5

2.1一般线性空间中可交换线性变换的性质……………………… 5

2.2有限维线性空间中可交换线性变换的性质……………………… 5

2.3欧几里得空间中可交换线性变换的性质……………………… 7

3 可交换线性变换的应用…………………………………………… 8

结论 ………………………………………………………………………… 12

参考文献………………………………………………………………………13

1 预备知识

线性变换是线性空间中的元素之间的映射关系，它是初等代数函数概念的一种推广，是线性代数的核心内容.线性变换最简单的，同时也可以认为是最基本的一种变换，正如线性函数是最简单的和最基本的函数一样.于是对线性变换的性质的深入研究就显得尤为重要.

本文将着重研究线性变换的可交换性，包括线性变换可交换性的判定以及可交换线性变换的性质.和矩阵一样，线性变换一般不具有可交换性：即，其中是线性变换.线性变换是建立在线性空间的基础之上的，所以不同的线性空间会对线性变换的性质产生影响.本文将从一般线性空间、有限维线性空间、欧式空间等3个方向去讨论.

在本文第1节中详细讨论了线性变换与矩阵之间的转化理论，为线性变换可交换性的进一步应用打下了坚实的基础.第3节中举出了线性变换可交换性的若干应用.

1.1 基本定义

定义1 线性空间的一个变换称为线性变换，如果对于中任意的元素，和数域中任意数，都有

，

.

以后我们一般用代表的变换，代表在变换下的像.

定义2 如果线性空间的两个线性变换满足,则称线性变换和可交换.

定义3 设矩阵，如果成立,则称矩阵与可交换.

定义4 数域上两个线性空间与称为同构的,如果由到有一个双射，具有以下性质：

（1）；

（2），

其中是中任意向量，是中任意数.这样的映射称为同构映射.

定义5 设是欧式空间的一个线性变换,若对任意的,有,则称线性变换为对称变换.

1.2 线性变换与矩阵之间的关系

设是数域上的维线性空间,表示数域上的所有矩阵所组成的线性空间.记，线性变换的值域为,核为.

设是线性空间的一组基，于是有，记,其中. （1）

在（1）式下，令为到的映射，且,则构成了到的同构映射，记为. （2）

事实上 首先证明是一个一一映射.一方面，任设，记为矩阵的第列列向量，取线性变换，使得

, (3)

于是有，即是一个满射.另一方面，设，由于是一个满射，则一定存在（取法同（3）式），使得.若，则显然有，即是一个单射.

任设且，,则由

,

及可得及.从而根据定义4可知与同构.

2 可交换线性变换的性质

2.1 一般线性空间中可交换线性变换的性质

性质1设是线性空间的线性变换，且.证明：和都是的不变子空间.

证明 设，则存在，使.因此

,

所以是的不变子空间.设，则，因此

.

故，即是的不变子空间.

2.2 有限维线性空间中可交换线性变换的性质

性质2 设是复数域上的维线性空间，是的线性变换，且，则

（1）的每一个特征子空间都是的不变子空间；

（2）与至少有一个公共的特征向量.

证明（1）设是的特征子空间，是的特征值，，则，

从而

.

故，即的每一个特征子空间都是的不变子空间.

(2）由于是的不变子空间，记，在复数域上，必有特征值，并存在非零向量，使，故.又，所以即为与的公共特征向量.

性质3 设是维线性空间上的线性变换，若，则.

证明 在(1)～(2)式的前提下，设

， (4)

由式(1)～(2)及式(4)知，此时等价于，因为,为单位矩阵.注意到，所以可得

,

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