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摘 要

：积分中值定理是微积分学中的基本定理，在很多问题中有着广泛的应用.本文利用拉格朗日中值定理等方法证明第一积分中值定理中的闭区间可以加强到开区间，并通过比较加强后的积分中值定理和原积分中值定理在解决问题的差别, 表明了积分中值定理在加强后更具有应用性，改进后的积分中值定理能够解决一些用原来的积分中值定理无法解决的问题.本文还给出了重积分、曲线积分、曲面积分中的中值定理.

关键词：微积分，积分中值定理，重积分，曲线积分，曲面积分，应用

Abstract：Integral mean value theorems are basic theorems in calculus，which has been widely used in a lot of problems. This paper proves that the closed interval in the first integral mean value theorem can be strengthen to the open interval by using the Lagrange mean value theorem and other methods. This paper study the difference in applying the first integral mean value theorem (closed interval and open interval, respectively) in solving some problems, which shows that the integral mean value theorem in open interval has more wide application and can solve some problems that the first integral mean value theorem in closed interval can not solve. Furthermore, this paper also give the integral mean value theorem in double integral, curvilinear integral and surface integral.

Keywords：Differential and integral calculus, integral mean value theorem, double integral, curvilinear integral, surface integral, application

目 录

1 前言……………………………………………………………………4

2 积分中值定理…………………………………………………………4

3 二重积分中值定理……………………………………………………7

4 三重积分中值定理……………………………………………………8

5 曲线、曲线积分中值定理……………………………………………9

6 积分中值定理的应用 ………………………………………………12

结 论……………………………………………………………………16

参 考 文 献……………………………………………………………17

致 谢……………………………………………………………………18

1 前言

随着微分学的不断完善，与之相对应的积分学也开始发展起来。而最早定积分的出现，是为了解决实际问题中计算一种和式极限的问题。与微分学中的微分中值定理相对应，积分学中也有一套比较为完善的积分中值定理，而且积分中值定理在积分学中也占有重要的地位.积分中值定理不仅是数学分析学习中的一项基本定理，也是定积分学习中的一个重要的定理，并在定积分与被积函数之间建立了联系.

在一元积分理论中，积分中值定理包括第一积分中值定理和第二积分中值定理。他们都是积分学中的基本定理，在理论应用上有着一定的重要地位，特别是在一些逻辑推理论证方面有比较多的应用.

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者是复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题解决思路简化。因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑积分中值定理，去掉积分号，或者化简被积函数.

但是现在的教材有关第一积分中值定理的介绍都比较简单，所给出的结论也都比较弱，使得其应用受到了很大的限制。为此，本文改进了第—积分中值定理的结论,把闭区间加强到开区间，并利用拉格朗日中值定理等方法证明改进的定理成立，通过比较加强后的积分中值定理和原积分中值定理在解决问题的差别, 表明了积分中值定理在加强后更具有应用性，改进后的积分中值定理能够解决一些用原来的积分中值定理无法解决的问题. 本文还介绍了积分中值定理的简要概述，探讨了积分中值定理的推广,即二重积分、三重积分、曲面积分、曲线积分等.

2 积分中值定理

定理2.1^[1]（第一积分中值定理）若在上连续，则至少存在一点，使得.

证明 由于在上连续，因此存在最大值和最小值.由

，

使用积分不等式性质得到

或者

再由连续函数的介值性，至少存在一点使得

，

证毕.

定理2.2^[1]（积分第一中值定理的推广）若与都在上连续，且则至少存在一点，使得

.

证明 不妨设，这时有

（1）

其中在上的最大、最小值.有定积分的不等式性质，得到

若，则由上式知，从而对任何的，式

都成立.

，则得

.

由连续函数的介值性，必至少有一点，使得

,

证毕.

定理2.3^[13]（第一积分中值定理的改进）若在上连续，则至少存在一点，使得

.

证法一 因为在上连续，所以存在，有为最小值，为最大值.

如果，则是常值函数，任取即可.

如果，考察函数，显然连续且

，

则有，即

同理可得故有.

由连续函数介值性，至少存在一点，使得

，

即

.

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