Fibonacci多项式与Lucas多项式的积分序列

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摘 要

本文根据Fibonacci多项式和Lucas多项式的递推关系，给出了Fibonacci多项式和Lucas多项式的积分序列和的相关定义，研究了关于积分序列和与Lucas多项式之间的关系，获得了和的母函数，在时，得到了积分序列和与Lucas序列,Pell-Lucas序列的一些恒等式。

关键词：Fibonacci多项式，Lucas多项式，积分序列，Lucas序列，Pell-Lucas序列

Abstract:In this paper, based on the recursive relationship between Fibonacci and Lucas polynomials, the Fibonacci sequence and Lucas sequence of integral sequences and related to the definition were given. The integral sequences and related to Lucas polynomial were studied. The generating function of and were obtained. When, some identities of the integral sequence and about Lucas sequence, Pell-Lucas sequenceswere obtained.

Keywords: Fibonacci polynomial, Lucas polynomial, integral sequence, Lucas sequence, Pell-Lucas sequence

目 录

1 引言·························································4

2 ，的性质········································4

3 几个推论·····················································11

结论····························································14

参考文献·······················································15

致谢····························································16

1 引言

所谓Fibonacci多项式和Lucas多项式是指满足如下初值和递推关系^[1-3]：

,,. （1）

，,. （2）

我们有它们的通项公式：

, （3）

, （4）

其中 ， .从而有

，.

在（1），（2）中,令，易知，，就是著名的Fibonacci序列，就是著名的Lucas序列.令，，，就是著名的Pell序列，就是著名的Pell-Lucas序列.令，知 , ^[1-6].关于Fibonacci多项式和Lucas多项式已有很多学者得出了许多重要结论^[,本文将研究Fibonacci多项式和Lucas多项式的积分序列的一些性质.记

, （5）

. （6）

2 ，的性质

首先给出两个引理

引理1 设为正整数，表示不超过的整数，则

. （7）

证明 由（3）可知

=

,

设为中的系数，故

，

即（7）得证.

引理2 设为正整数，表示不超过的整数，则

. （8）

证明 由（3），（4）可知

，

故

.

且

,

从而

，

即（8）得证.

定理1 对于任意正整数,则

. （9）

证明 由引理1,2得

，

即（9）得证.

定理2 设为正整数，则

. （10）

证明 由引理1,2及（2）得

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