微分中值定理及其应用

论文总字数：7287字

摘 要

：微分中值定理是微分学的重要定理，是沟通函数与导数的桥梁．它主要包括罗尔中值定理、 拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式这几个基本定理．本文主要探讨了微分中值定理及其推广的多种形式，并讨论了定理在证明等式，不等式以及证明方程根的存在性等多方面的应用．　

关键词：微分中值定理，联系，推广，应用

Abstract: Differential mean value theorem is an important theorem of differential calculus, it is the bridge between function and derivative. It mostly consists of Roll intermediate value theorem, Lagrange mean value theorem, Cauchy mean value theorem and Taylor formula. The various forms of the theorem’s extension, and many other applications of the differential mean value theorem, such as proving equality and inequality, proving the existence of uniqueness, are discussed in this paper.

Keywords: differential mean value theorem, connection, extension, application

目 录

1引言…………………………………………………………………………4

2微分中值定理…………………………………………………………………4

2.1定理及其证明………………………………………………………………4

2.2定理的内在联系和几何意义…………………………………………………6

3定理的推广………………………………………………………………………6

4定理的应用………………………………………………………………………7

4.1证明定理…………………………………………………………………8

4.2研究函数的性质…………………………………………………………8

4.3证明不等式…………………………………………………………………10

4.4证明等式……………………………………………………………………11

4.5求极限………………………………………………………………………12

4.6求近似值……………………………………………………………………13

4.7证明方程根的存在…………………………………………………………13

结论………………………………………………………………………………15

参考文献…………………………………………………………………………16

致谢………………………………………………………………………………17

1 引言

　　人们对微分中值定理的研究，从微分学建立之后就开始了．1637年，法国数学家费马发现了费马定理，成为微分中值定理的第一个定理．在这个基础上，很多数学家对微分中值定理有了进一步的研究．

　　微分中值定理是微分学理论的重要组成部分，是联结函数值与导函数值之间关系的一座桥梁．它的主要作用在于理论分析和证明，函数的许多性质，如单调性、一致连续性、取极值等，都可以借助微分中值定理来研究．微分中值定理包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒公式．本文探讨了微分中值定理的性质及其推广形式，并讨论了微分中值定理在解题中的一些应用．

2 微分中值定理

2．1 定理及证明^［1］

　　定理1（费马定理）　设函数在点的某邻域上有定义，且在点可导，若点为的极值点，则必有．

　　定理2（罗尔中值定理）　若函数满足如下条件：在闭区间上连续， 在开区间内可导， ，则在内至少存在一点，使得．

　　证明　由于在上连续，所以有最大值与最小值．

　　下面分和两种情况讨论．

1）若，则在上必为常数，则为中任一数，从而结论显然成立．

2）若，由，故与至少有一个在内某点处取得，从而是 的极值点，由在开区间内可导，故在点处可导，由费马定理知 ．

注　定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立．

定理3（拉格朗日中值定理 ）　若函数满足如下条件：在闭区间上连续，在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得 ．

　　定理4（柯西中值定理）　设函数和满足：在闭区间上连续，在开区间内可导，且和不同时为零，，则存在，使得 ．

　　拉格朗日定理和柯西定理的证明思想一样，现以柯西定理为例，给出证明过程．

分析 本题的关键是构造辅助函数，可把上式变形，把其中的换成，即可得，故上式左边的原函数为

，下面只需要再加上某些项使其满足罗尔定理的条件，即可得．

　　证明 作辅助函数，令

．

故 ，所以存在，使得，即

　　　．

所以

．

　　又因为，故上式可整理为

．

上述证明过程中，当变为时，就可得到拉格朗日定理的证明．　　

定理5（泰勒公式） 若在上有直到 阶连续导数，在上 阶导数存在，则对于，有

，

其中．

　　注　当:

　　．　

2．2 定理的内在联系和几何意义

微分中值定理由罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理和泰勒定理组成，而这几个定理之间也紧密相连．其中，柯西中值定理对条件要求最弱，是最一般的情形．拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，只需令，就可得到拉格朗日中值定理．罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例，只要令，就可得到罗尔定理，且拉格朗日定理是泰勒公式的特例，只需令就可得到拉格朗日定理．也就是说罗尔定理是基础，拉格朗日定理是罗尔定理的推广，柯西定理是拉格朗日定理的推广，而泰勒定理是拉格朗日定理的推广，是拉格朗日定理在导数与阶数上的一个推广．　

三个定理有相同的几何解释　在曲线上至少存在一条切线平行于两端点的连线．

3 微分中值定理的推广

　　微分中值定理有三种基本形式，即罗尔中值定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理．其中，罗尔定理是基础，现以罗尔定理为例，从减弱条件，加强结论，改变形式三个角度来探讨微分中值定理的推广形式．

(1) 减弱条件

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