三角有理式不定积分的求解

论文总字数：5607字

摘 要

关键词：三角有理式，积分，解法，变形，代换

Abstract: Rational trigonometric indefinite integral plays a very important role in the unitary function integral. Its solution method is not fixed, depending on the specific problem. It has a great flexibility and it is hard to grasp such a type in the indefinite integral. The basic idea of solving the indefinite integral of triangle is analyzed in this paper and the various corresponding solutions are also summarized.

Keywords: trigonometric rational function, integral, solution, deformation, substitution

目　　录

1　引言……………………………………………………………………………4

2　三角有理式不定积分的求解方法…………………………………………4

2.1　直接积分法…………………………………………………………………4

2.2　第一换元积分法……………………………………………………………4

2.3　有理替换法…………………………………………………………………5

2.4　分部积分法…………………………………………………………………7

2.5　递推求积法…………………………………………………………………8

2.6　辅助求积法…………………………………………………………………9

2.7　待定系数法………………………………………………………………10

3　积分方法的多样性与积分结果的差异性…………………………………10

4　几类三角有理式积分的计算方法…………………………………………13

结论………………………………………………………………………………15

参考文献…………………………………………………………………………16

致谢………………………………………………………………………………17

１　引言

三角有理式不定积分的求解问题方法较多，题目多变，对学习与解题造成了很大的困扰．在解题时，往往需要选择恰当的方法，否则计算量很大．因此有必要对这方面进行归纳和总结，以此来提高解题速度．本文对三角有理式不定积分的概念、结论、方法进行归纳和总结．

三角函数有理式是由三角函数及常数经过有限次四则运算所得到的式子，如

，，，等都是三角有理式^[1]．

　　因为可以用表示，所以三角函数有理式用来表示．三角有理式不定积分一般记为：^[1]．

2　三角有理式不定积分的求解

2.1　直接积分法

由已知函数求出全部原函数的方法称为积分法．把被积函数经过恒等变形后直接运用不定积分的性质和基本积分公式求出不定积分的方法称为直接积分法．常用的恒等变形的公式有：

，，，，等．

例1　计算．

分析　被积函数中的可以经过恒等变形后化为，化为分项积分然

后求积．

解　．

2.2　第一换元积分法

第一换元积分法^[2]，又称凑微分法，是使用比较常见的一种积分方法．

若，连续可导，则．

凑微分法的关键在于凑微分，常见的三角函数凑微分的公式如下：

，，

，，

更一般地，

，

．

例2　计算.

分析　当被积函数为时，且中至少有一个为奇数时，利用

和拆开奇次项去凑微分^[3]．

解　

．

2.3　有理替换法

利用换元将原积分的被积函数化成有理函数，进而转化成有理函数式的不定积分的求解问题．

（1）半角替换^[4]

半角替换又称万能替换，即令，，，该替换能够将，实现有理化．

，

同理可得　 　　　　　 ．

这样就可以将有理三角函数的积分归结为有理函数的不定积分

．

　　例3　计算．

　　分析 被积函数较复杂，用直接积分法无法计算．利用万能公式将三角有理式积分化为有理函数积分来进行求解．

解　令，则，，

且　　　　 ，

从而

．

万能替换对于大多数三角有理式不定积分都能适用，且方法较固定．但是有时计算量较大．所以在下列几种特殊的情况下，我们引入更为简单的有理化替换法．

（2）全角替换^[5]

1)(余弦代换法)　若，令．

2)(正弦代换法)　若，令．

　　例4　计算．

　　分析　本题可以利用,运用凑微分法来求积,也可以考虑将被积函数转化成有理函数来求积．但若用万能替换，被积函数化为，计算量大．又因为被积函数满足，所以用有理替换法的全角替换1）.

解　令，则，且

于是

．

1. (正切代换法)　若，令．

例5　计算．

分析　利用万能替换将被积函数化为有理函数后，计算起来较复杂．又被积函数满足，所以不用万能替换而用有理替换法的全角替换3）．

解　用替换，则求积如下

　　　．

2.4　分部积分法^[2]

若与可导，不定积分存在，则也存在，并有

．

　　当被积函数是三角函数与多项式或者指数函数的乘积时，一般采用分部积分法．但在有些情况下，如果被积函数是三角函数有理式时，也同样可以采用分部积分法．

　　例6^[4]　计算．

分析　若用有理替换法的话，计算量非常大，不易求解．因为满足分部积分法的求积形式，所以用分部积分法．

解法1　可用分部积分法得到回转式．

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