几种数学思想在解题中的应用初探

论文总字数：10133字

摘 要

数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分，是对数学知识的本质认识，是数学知识的“灵魂”。数学思想方法反映了数学的本质特征，是分析和解决数学问题的指导思想。本文着重研究讨论逆向思维、化归转化和构造性等三种数学思想法在解题中的应用，通过具体实例来阐述这些数学思想具体问题的应用，将问题进行分类总结，启发解题思路，以便提高解题效率，强化方法意识，为很多数学问题提供解题的思路。

关键词：数学思想，逆向思维，化归转化，构造性

Abstract: Mathematic thinking methods are an important parts of mathematical basic knowledge, which is the essence of mathematics, called the ‘soul’ of it. Mathematical thinking methods reflect the essential characteristic of mathematics, and it is the guiding ideology for analyzing and solving mathematical problems. In this paper, we investigate the applications of three mathematical thinking methods in solving problems, including reverse thinking, reduction and transformation and construction. The applications of these mathematical thinking methods are illustrated in specific issues through concrete examples. We classify and summarize all the problems by mathematical thinking methods. We hope the readers can find something helpful to inspire them how to solve the problems efficiently, to impress them those mathematical thinking methods.

Key words: mathematical thinking, reverse thinking, transformation, structure

目录

1 引言…………………………………………………………………………………………………………4

2 主要内容…………………………………………………………………………………………………4

2.1 逆向思维——“反其道而行”………………………………………………………………4

2.1.1 逆向思维的特点………………………………………………………………………………4

2.1.2 如何培养学生的逆向思维…………………………………………………………………5

2.1.3 逆向思维在解题中的应用…………………………………………………………………6

2.2 化归转化——“化繁为简”………………………………………………………………8

2.2.1 化归转化思想的含义…………………………………………………………………………8

2.2.2 如何提高化归转化能力……………………………………………………………………9

2.2.3 化归转化思想在解题中的应用…………………………………………………………9

2.3 构造性思想——“解决问题的桥梁”……………………………………………………12

2.3.1 构造性思想的含义及其方法……………………………………………………………12

2.3.2 如何运用构造法解题………………………………………………………………………12

2.3.3 构造思想在解题中的应用………………………………………………………………14

结论…………………………………………………………………………………………………………18

参考文献……………………………………………………………………………………………………19

致谢…………………………………………………………………………………………………………20

1 引言

当今世界已经进入了知识经济型社会、教育型与学习型社会。在这样的社会中，国家之间的竞争也表现为知识的竞争，世界教育的基本走向已经转向重视教育改革和重视学生的自主发展，重视培养学生的自主性、独立性与创造性^[1]。当前我国正掀起一轮新课程改革，改革的内容就是要轻做题，重应用；轻知识，重能力；轻短期，重发展。而思想方法教学在数学教育中正体现其重要功能与价值：有利于培养学生的创新意识和实践能力^[2]；有助于升华学生的人格品质，完善数学认知结构和提高数学素养。所以，培养学生灵活运用数学思想方法的能力已刻不容缓。

数学思想方法在教学方面也有着重要的意义，是构成学生良好的认知结构的桥梁，是学生的知识转化为能力的重要途径。从心理发展规律看，数学思想方法不仅有助于学生从形象思维过渡至辩证思维，而且是学生形成辩证思维的重要方法；从认知心理角度看，学习数学思想方法为我们提供思维策略和实施目标的具体手段，通过数学思想方法的教学，能够极大地促进学生对数学结构的认知；从学习迁移的角度看，通过原理和态度的迁移，能够很大程度地提高学生学习质量与能力，因而，只有将数学思想方法铭刻于头脑中，才能随时随地产生作用，使学生终身受益^[3]。所以说，不论从何种角度来看，数学思想方法都对我们的学习有非常大的帮助，百益而无一害。

在新课程背景下，已有许许多多的专家、教师对数学思想方面进行了研究，高度重视数学创新思想研究与实践活动。江西萍乡学院教授邱香兰通过运用逆向思维的数学方法，设辅助函数解决有关中值问题^[4]，由问题结论及题中条件，通过构造一种辅助函数，使中值问题在新的条件下得以解决。江苏省滨海中学的茆训昌老师^[5]对中学数学中的化归转化思想也做了深入的研究，把高考考查重点的几何概型问题中所用到的化归转化思想进行了具体的归纳与分析，让学生准确理解实际问题的数学模型，并对这一类问题得到了更深层次的认识。黑河学院的邵丽梅对构造性思想也做了深入的研究，同样地，她使用构造辅助函数解决了微分中值定理的证明^[6]。所以说，如果能灵活的把诸多数学思想方法结合起来，那解决难题是就会起到事半功倍的效果了。

本文将重点分析逆向思维、化归与转化思想以及构造性思想这三种数学思想方法在解题中的具体应用，对从小学到大学的数学学习中所运用到的这三类思想方法进行了总结，并通过典型例题，介绍如何才能将这些思想方法灵活运用到具体的数学问题中，使我们解决问题多了一些思路与方法。

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