循环矩阵性质及其应用

论文总字数：5964字

摘 要

：循环矩阵类作为矩阵理论的一个重要组成部分，有着优良的结构和性质.科学技术工程中大量涉及到循环矩阵，因此，对循环矩阵的研究具有重要的现实意义.本文以基本循环矩阵为切入点，系统地研究了循环矩阵的各种特征和性质，包括与傅里叶变换的关系.在应用方面，我们研究了循环矩阵逆矩阵求法以及线性方程组求解.

关键词：循环矩阵，反循环矩阵，循环矩阵，逆矩阵，傅里叶变换

Abstract: Circulant matrices are an important component of the matrix theory, which have excellent properties. Since many problems in science and energineer involves the circulant matrices, it is significant to study their properties. In this paper, based on basic circulant matrices as a breakthrough point, we systematically studied various properties of circulant matrices, including the eigenvalues, the relationship with the Fourier transformation and so on. We also apply these theoretical results to obtain the inverse of a circulant matrix and solve a system of linear equations with a circulant matrix.

Keywords: circulant matrix, anti-circular matrix, r-circular matrix, inverse of a matrix, fast fourier transformation

目　　录

1 引言……………………………………………………………………………4

2 循环矩阵………………………………………………………………………4

2.1 几类循环矩阵的概念………………………………………………………4

2.2基本循环矩阵………………………………………………………5

3 循环矩阵的性质………………………………………………………………6

4 循环矩阵的应用……………………………………………………………9

4.1求解循环矩阵的逆矩阵…………………………………………………9

4.2 求循环矩阵乘向量………………………………………………………11

4.3 求系数矩阵为循环矩阵的方程组的解…………………………12

4.4 用循环矩阵讨论n阶方阵可对角化的充要条件…………………………13

结论………………………………………………………………………………15

参考文献…………………………………………………………………………16

1　引言

循环矩阵的概念是.于年首先提出来的，直到年，等才分别对循环矩阵的逆，及其对角化等性质进行了钻研.

循环矩阵是一类特殊的，不仅具备矩阵类的普通性质，即它有个元素并且每一条平行于主对角线的元素都相同，而且还具有比矩阵类更加特殊的结构. 循环矩阵只含有个元素，它的任意行都可以通过对矩阵的第一行进行置换得到. 由于循环矩阵结构的特殊性，使其有着一些特殊的、优良的性质，充实着循环矩阵的理论.

同时，矩阵在很多领域，如分子振动、固体物理、信号处理、数理统计、纠错码理论、编码理论、图像处理、结构计算、优化设计、计算机时序分析、石油勘测以及地震物探等领域中都有广泛的应用. 因此，近年来，循环矩阵已成为矩阵理论和应用数学领域中的一个十分活跃的和重要的研讨方向.

2 循环矩阵

2.1 几类循环矩阵的概念

1. 在复数域上，形如

= （1）

的矩阵称为关于元素列,,...的阶循环矩阵，简记为=.

它的每一行都是由前一行的元素右移一个位置，并将“溢出”的挪到左边第一个位置而组成的. 由（1）可以直接看出，循环矩阵沿平行于主对角线的每一对角线上的元素是相等的，是关于次对角线对称的.

1. 在复数域上，形如

（2）

的矩阵称为关于元素列的n阶反循环矩阵，简记为A=（）.

1. 在复数域C上，形如

（3）

的矩阵称为关于元素列（）的阶循环矩阵，简记为.

特别的，时，即为循环矩阵（1）；时，即为反循环矩阵（2）.

2.2　 基本循环矩阵

1） 特别的，形如

= ，

， (单位矩阵)

的矩阵称为基本循环矩阵，由于它的任意行都可以通过对矩阵的第一行进行置换得到，所以又称为循环置换矩阵或移位矩阵.

2）形如

= （4）

的矩阵称为基本反循环矩阵.

3）形如

₌ （5）

的矩阵称为基本–循环矩阵.

3　循环矩阵的性质

显然，（阶单位矩阵）都是阶循环矩阵，且任意一个阶循环

矩阵都可以唯一地表示为基本循环矩阵的次多项式

，

设

，

则

.

因此，我们通过研究基本循环矩阵的性质来研究循环矩阵（1），而循环矩阵（2）、（3）的性质也可类似得到.

性质1. 同阶循环矩阵，的和矩阵也为循环矩阵.

证明：设，，

则，

显然也为循环矩阵.

性质2. 同阶循环矩阵的乘积也为循环矩阵，且有.

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