浅谈数列求和的若干方法

论文总字数：7606字

摘 要

数列求和是数列部分的重要内容之一，它主要包括等差数列求和、等比数列求和与一些特殊的非等差、非等比数列的求和，大部分数列求和问题都需要一定的技巧才能解决．本文对数列求和的一般方法进行了较为系统的归纳与探讨，给出了数列求和的公式法、错位相减法、倒序相加法、拆项法、并项求和法、数形结合法、通项法、导数法、周期法和数学归纳法．

关键词：数列求和，公式法，拆项法，并项求和法，数形结合法，通项法，周期法，数学归纳法

Abstract：Sequence summation is one of the important part of sequence of numbers. It includes arithmetic sequence summation,geometric sequence summation and some special non-arithmetic, non-geometric sequence summation. Most problems of sequence summation requires some skills to deal with. In this paper, we conclude and discuss general methods of summing sequence systematically and give the methods of formula method, dislocation subtraction method, reverse addition method, disassembly method, items combination method, combination of number and figure method, general term method, derivative method, periodic method and mathematical induction method.

Keywords：sequence summation, formula method, disassembly method, items combination method, combination of number and figure method, general term method, periodic method, mathematical induction method

目 录

1 引言……………………………………………………………………………4

2 数列求和的方法………………………………………………………………4

2.1 公式法………………………………………………………………………4

2.2 错位相减法…………………………………………………………………6

2.3 倒序相加法…………………………………………………………………7

2.4 拆项法………………………………………………………………………8

2.4.1 直接拆项法………………………………………………………………8

2.4.2 裂项求和法………………………………………………………………9

2.5 并项求和法 ………………………………………………………………10

2.6 数形结合法 ………………………………………………………………10

2.7 通项法 ……………………………………………………………………12

2.8 导数法 ……………………………………………………………………13

2.9 周期法 ……………………………………………………………………13

2.10 数学归纳法………………………………………………………………14

结论………………………………………………………………………………16

参考文献…………………………………………………………………………17

致谢………………………………………………………………………………18

1 引言

数列是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数．数列不仅是初高中数学的重要组成部分，而且它与数、式、函数、方程、不等式等有着密切联系，是学习极限、微分、积分、级数的基础，是通向高等数学的阶梯和桥梁．数列在现实生活中也具有较大的应用价值．

数列求和又是数列中的重中之重．目前关于数列求和的文章有很多，每个人对数列求和都有自己的看法和见解，但是仍然不够系统全面．随着时代的发展，越来越多的数列求和问题出现，过去的方法经过历史的检验被不断完善，新的方法也在不断涌现．数列求和问题越来越多地挑战着人们的智慧，让人着迷．

其实从很久以前人们就开始研究数列以及数列求和．在数学历史上，中国古代数学名著《周髀算经》、《九章算术》、《孔子算经》、《张丘建算经》都对等差数列和等比数列进行了探讨，并列出了计算的例子．中国古代对数列的研究也体现在《易经》一书中：太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．这种分割中已经含有等比数列的思想．公元前年，巴比伦人就已经总结出了的求和公式．在西方，古希腊的毕拉哥拉斯就经常在沙滩上研究数列问题．西方比较著名的数列有“斐波那契数列”、“卢卡斯数列”等，斐波那契数列还与黄金分割有着奇妙的关系，它是这样一串数列，从第二项开始，每一项都等于前两项之和．有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的．而且当趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近），体现着数学中的美学．

本文主要在前人的基础上，用公式法、错位相减法、倒序相加法、拆项法、并项求和法、数形结合法、通项法、导数法、周期法和数学归纳法探究数列求和．

2 数列求和的方法

2.1 公式法

公式是前人研究数学问题时的智慧的结晶，是经过检验的简便的方法．例如高斯小时候在计算时所用到的方法就是一种等差数列的求和公式．等差数列和等比数列是两个最重要的数列，对于他们的求和，我们首先考虑求和公式．

设为等差数列，首项为，公差为，则前项的和为

． （1）

设为等比数列，首项为，公比为，则前项的和为

（2）

对于等差数列和等比数列，我们可以直接利用公式（1）、（2）求和．

例1 在等差数列中，，，则的前项和= ．

解 由等差数列的通项公式得

，．

将代入，解得

，．

根据等差数列的求和公式，得

．

例2 等比数列的首项为，公比为，前项的和为，由原数列各项的倒数组

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：7606字