例谈用“构造法”证明不等式

论文总字数：4796字

摘 要

关键词：构造法；不等式证明；函数；方程；复数

Abstract: During the process of learning the mathematics, we always encounter some proves of inequality. From the point of inequality’s structure and characteristics, the problems can be solved by the structured approach,with full imagination.thus constructing a mathematical model which is related to the inequality.

Key words: structured method,prove of inequality, functions, equation,complex number

目 录

1 引言 4

2 构造法证明不等式的基本方法 4

2.1 构造方程法证明不等式 4

2.2 构造函数法证明不等式 6

2.3 构造向量法证明不等式 7

2.4 构造数列法证明不等式 .8

2.5 构造复数法证明不等式 10

2.6 构造距离法证明不等式 12

2.7 构造基本不等式证明不等式 13

2.8 构造图形法证明不等式 14

2.9 构造对偶式证明不等式 15

结 论 17

参 考 文 献 18

致 谢 19

1 引言

在近几年的各大数学竞赛和高考中,不等式的证明问题出现的概率越来越高. 我们证明不等式的方法有很多,大概分为两类:一是利用不等式的性质及相关的重要不等式;二是构造法，通过构造函数模型,利用相关模型的性质和特点来解决问题.

在数学的发展史上,有许多伟大的数学家,都曾应用构造法来解决过数学难题,比如康托、欧几里得、欧拉等.所说构造法是一种极具创造性和想象力的解题方法,当我们遇到比较难的不等式证明问题,可以从不等式本身出发,找出其内在规律构造新的函数模型,从而使不等式问题得到转化[^[1]].运用构造时,重点在于构造,根据已知的信息和所要求的结论进行联想、类比,构造出新的数学模型,本片文章重点阐述了几种解决不等式的函数模型并进行了初步的探讨.

2 构造法证明不等式的基本方法

2.1 构造方程法证明不等式

在解决不等式的过程中,我们发现不等式解的区间端点就是相应方程的解[^[2]],因此我们可以构造相应的方程使问题得到简化.

例1 已知的绝对值小于1,求证:.

证明：构造关于的方程,并且设、为该方程的根.

由题意可知 且二次函数的图像与轴的交点在区间上,该函数的对称轴与轴的交点也在该区间上,又因为图像开口向上,所以

即,

即,

即,

即,

即.

例2 已知且.证明:.

证明：由题意可知

,

且由,

可知

,

所以 是方程的两个解,

所以 ,

即,

同理可得 ,

得证.

例3 设实数满足方程组，.

证明：.

证明：由题可知

,

,

所以是方程的两个解,

得到方程组：

,

解之得：.

2.2 构造函数法证明不等式

当我们遇到不好解决的不等式时,可以考虑构造一个辅助函数,利用函数的单调性来解决问题,根据具体情况具体考虑,巧妙的运用好函数有利于简化不等式问题,使解答更为便捷！

例4 已知,求证:.

证明：由题意可知,上述不等式中有三个变量,我们可以假设其中一 个为未知量,构造一元二次函数；.

函数的图像开口向上,且,

所以函数的图像在轴上或者轴上方,

即,

即,

即,

得证.

例5 已知,求证：.

证明：构造辅助函数

,

因为函数区间上单调递增,

又因为,所以,

即,

得证.

例6 求证 :,其中，

证明： 构造辅助函数

,

,

我们很容易得出 恒成立,

. ,

此时我们 令 ,

得到.

2.3 构造向量法证明不等式

在高中数学中我们已经学习了向量,尤其在几何与代数中应用较多,我们在解不等式问题时,可以尝试通过向量来转化问题.

例7 已知,求证:.

证明：设向量,

又因为,

所以.

即,

得证.

例8 已知,求证:.

证明：构造向量,,

,,

,

又因为 ,

所以,

得证.

2.4 构造数列法证明不等式

有些数学题目中涉及自然数,此时我们应考虑与数列相结合,转化为数列不等式,利用数列的单调性来解决问题.

例9 已知,求证：.

证明：设数列,

,

,

,

所以数列为单调递增数列,

又因为,

所以.

即,

例10 求证:,其中.

证明：由题意得

,,

,,

,

综上所述:

,

例11 求证:,其中且.

证明：由题意可知我们可以得到x、、成等差数列,

设 其中,

又因为,得到:

,

再将,带入上述不等式右边,得到:

,

综上:

2.5 构造复数法证明不等式

有时候当我们对题目进行分析后,构造出合适的复数,利用复数的性质会使复杂问题简单化.在进行不等式的证明时,减少了繁琐的过程,既节约时间,又提高准确率.

例12 已知,其中,求证:.
证明：构造复数 ,其中，

,

从而有,

即,

即,

经化简得:,

即 ,

得证.

例13 假设都是大于等于0的实数,

求证：.

证明:都是大于等于0的实数,

所以,

通过观察可构造复数：,

,,

又因为,

=,

,

所以,

得证.

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