论文总字数：8303字
摘 要
本文从一次同余式的基本类型着手，简单探讨了一次同余式的几种解法及这些解法的优缺点，同时我们也对一次同余式的一些简单应用作了介绍.关键词：同余，一次同余式，解法，应用
Abstract: In this paper,we derived some methods of solving the congruence of first degree and discussed the merits and drawbacks from the basic types of congruence of first degree. At the same time,the simple applications of the congruence of first degree are also introduced.
Keywords: congruence, congruence of first degree, solution, application
目录
1 引言 4
2 基本概念及一次同余式 4
3 一次同余式的解法及其分析 5
3.1 代入求解法 5
3.2 欧拉定理法 5
3.3 求法 6
3.4 分式法 6
3.5 威尔逊定理法 7
3.6 减小模数法 7
3.7 降低系数法 7
3.8 初等变换解法 8
4 一次同余式的应用 8
4.1 中国剩余定理 8
4.2 电话线缆的铺设 9
4.3 公历的星期计算 11
4.4 密码学 11
4.41 凯撒密码 12
4.42 仿射密码 13
结 论 14
参考文献 15
1 引言
初等数论是一门非常古老的数学基础学科，它是研究数的规律，尤其是整数基本性质的重要数学分支. 它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程.
初等数论中的大部分内容早在古希腊的欧几里得《几何原本》中出现. 欧几里得不但证明了素数有无穷多个，还给出了如何求两个正整数最大公因数的方法，即欧几里得算法. 我国古代对初等数论的研究有着辉煌的成就，《孙子算经》、《数书九章》等古文献上都有记载. 孙子定理比欧洲早五百年，西方常把此定理称作中国剩余定理，秦九韶的“大衍求一术”也闻名世界. 近代初等数论的发展得益于费马、欧拉、拉格朗日、高斯等人的工作，同样我国现代数学家华罗庚、陈景润、王元、潘承洞等也都在这一领域作出过杰出的贡献.
同余理论是初等数论的重要组成部分，由高斯于19世纪初首先提出并系统的进行研究. 同余理论中包含大量数论所特有的思想、概念以及方法，它的出现是数论成为一个独立的数学分支的标志. 同余，是数论中最基本的概念，也是一种极为重要的数学思想方法，对于初等数学领域以及数论中的数学问题，借助于同余能使问题得到简明且富有启发性的解答.
一次同余式是同余理论中最重要的内容，而解一次同余式是学习数论中必须要掌握的解题方法. 本文根据同余式解的定义，利用同余的性质及有关定理研究一次同余式的多种解法，同时也介绍了一次同余式在数学理论和实际生活中的应用.
下面我们先对同余式的基本概念以及一次同余式解法的相关知识做一些概述.
2 基本概念及一次同余式
定义1[[1]] 若用表示多项式，其中是整数；又设是一个正整数，则
（1）
叫做模的同余式. 若，则叫做（1）的次数，称（1）式为次同余式.
定义2[[2]] 设是整数，当时式（1）成立，则称是同余式（1）的解. 凡对于模同余的解，被视为同一个解，同余式（1）的解数是指它的关于模互不同余的所有解的个数，也即在模的一个完全剩余系中的解的个数.
由定义2可知，同余式（1）的解数不超过.
定理1[1] 一次同余式
， (2)
有解的充分与必要条件是. 若有解，则恰有个解.
定理2[1] 如果是（2）的某一特解，则（2）的全部解是，.
因此，当一次同余式有解并且有不只一个解时，关键是求出它的一个特解.
设，，，，则必有，此时可以取一次同余
式的唯一解叫做的一个特解[[3]].
综合上述，我们知道一次同余式的求解关键在于求解有唯一解的一次同余式，然后再利用定理2得出其全部解. 因此，下面我们仅对,形式的一次同余式进行研究.
3 一次同余式的解法及其分析
3.1 代入求解法
由定义2可知，在求一次同余式的解时，仅需要将模的一个完全剩余系(如）中的每一个数代入同余式中逐一验证，即可求出其全部解.
例1 解同余式
.
取模5的最小非负完全剩余系0,1,2,3,4，分别代入同余式中，知满足同余式，故同余式的解为.
代入求解法需对模的完全剩余系中的每个数逐一进行验证. 当模的值较小时，可以直接利用代入求解法快速得到同余式的解；当模较大时，若是把完全剩余系中的每一个数代入同余式中逐一验证，过程十分繁琐. 因此，当模的值较小时适用此法.
3.2 欧拉定理法
欧拉定理是初等数论中非常重要的一个性质定理，利用欧拉定理并结合同余的相关性质可以得到一次同余式的一种公式解法.
定理3（Euler定理）[[4]] 设是大于1的整数，，则，其中是正整数的欧拉函数值.
定理4[1] 设是整数，，则一次同余式的解为.
例2 解同余式
.
因为，由定理4可知同余式的解为.
欧拉定理法给出了一次同余式的一个公式解，用此法求解一次同余式时可以直接代入公式，这往往比较简单，在理论上易于分析. 但当模的值较大时，的求解则需要涉及到的标准分解，较为复杂. 所以此方法更适合当模的值较小时或当较易求得时使用.
3.3 求法
利用最大公因数的性质并结合同余的相关性质，可得到求解一次同余式的又一种方法.
因为，所以一定存在整数，使得. 此时必有，于是得到，因为，所以以下三式
，
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