复数与三角乘积恒等式

论文总字数：4997字

摘 要

三角乘积恒等式是中学数学中的一类比较有趣的恒等式，用中学数学的方法证明这类恒等式是比较困难的.本文首先介绍了复数的基本理论，包括欧拉公式、棣莫弗公式及开方公式.然后收集整理了五种这样的公式，利用1在复数范围内开n次方证明了这些公式，并给出了这些公式应用的例子.

关 键 词：欧拉公式，复数开方，三角乘积恒等式

Abstract:Trigonometric identity is one kind of more interesting identities in high 

school mathematics and it’s pretty difficult to prove this kind of identity with the 

methods of high school mathematics. First of all, this thesis introduces the basic 

theory of complex number, including Euler formula, de Moivre formula and square

 root formula. Then the author collects such five formulas and proves them with the 

use of 1 in the complex number range of N times. Finally, the examples of these formulas’ application are given in the following chapters. 

Keyword: Euler formula,complex number,trigonometric identical equation

目 录

1 引言 5

2 复数的基本知识 6

2.1 复数 7

2.2 棣美弗公式 8

2.3 欧拉公式 9

2.4 1开n次方 9

3 三角乘积恒等式的证明 10

公式一 11

公式二 12

公式三 13

公式四 13

公式五 14

结 论 15

参 考 文 献 16

1 引言

我们知道，一些特殊角的三角函数值可以轻易计算出来，比.但是对

一般角的三角函数值呢？例如，等，这些角的函数值就不太容易算出来.更不要说一般角的三角乘积恒等式的计算和证明了.那么有什么好的三角乘积恒等式的计算和证明的方法呢？

高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a＋bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样地“代数化”.他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合.统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应.高斯发现的复数的三角形式使得复数与三角乘积恒等式紧密联系了起来.

法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理.即若nN，则 其中n可以改为整数.并由这个定理推出了它的推论，得出了下面的公式，即

, ,

, .

这使得一般角的函数值都可以用复数的形式表现出来.棣莫弗公式使得复数与三角乘积恒等式的关系更加的紧密和更加的具体形象.

瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；“一切形如，习的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根.对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻.”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地.欧拉在1748年发现了有名的关系式.即欧拉公式，.欧拉公式在三角乘积恒等式中不是直接的运用，而是在复数的乘幂和方根的运用.

　经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论与三角乘积恒等式的关系，使得三角乘积恒等式的复数法证明已经受到广大学者的青睐.

三角乘积恒等式的复数法证明的研究十分具有意义.首先，它得出了很多著名的理论，如棣莫弗定理、欧拉公式等.其次，它还研究了复数，使得复数理论比较完整和系统地建立起来了.最后，它还简化了一般三角乘积恒等式的运算.并在其证明过程归纳和论证出了一些三角乘积的公式.这些公式可以直接应用到题目中，这样就避免了每次遇到三角乘积都要进行大量的计算，大大提高解题的质量与速度.

2 复数的基本知识

2.1 复数

形如或者的数称为复数，其中x和y是任意实数，i满足，称为虚数单位.实数x和y称为复数的实部和虚部，记为：，.

当复数的虚部为零时可看作实数，即.特别地.所以，全体实数是全体复数的一部分.

当复数的虚部不为零，实部为零时，即z=0 iy，这样的复数称为纯虚数.

两个虚数相等是指它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等，即设，，如果，必须只有，.

复数的运算：设，.

复数的加减法可按实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.即，结果仍然是复数.我们称是复数与的和，是复数与的差.复数的加减法遵守交换律和结合律.

复数的乘法可按多项式乘法法则进行，只需将结果中的换成-1即可，即，结果仍是复数，称它为复数与的积.复数的乘法遵守交换律和结合律，且遵守乘法对于加法的分配律.

复数的除法，分子分母同乘以分母的共轭复数，再进行化简，即，结果仍是复数，称它为复数与的商.

全体复数并引进上述运算后就称为复数域，用C表示.

一个复数本质上由一对有序实数唯一确定，就称为复数z的实数对形式.例：z=5 3i 对应的就是点.由于x轴上的点对应着实数，故x轴称为实轴； y轴上的非原点的点对应着纯虚数，故y轴称为虚轴.这样表示复数z的平面称为复平面或者z平面.常用C来表示.

在复平面上，复数的加减法的意义也有所不同.所对应的向量就是所对应的向量与所对应的向量的和向量.所对应的向量就是所对应的向量与所对应的向量的和向量.

设复数，我们用向量来表示复数，其中x，y 依次是x 轴与y轴的分量.向量的长度称为复数z的模或者绝对值，用符号或者r表示.有且=0的充要条件是z=0.

,

.

实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角称为复数z的辐角（Argument），记为.我们知道，任一非零复数z有无穷多个辐角，今以表示其中一个特定值，符合条件lt;的一个为的主值，或称为主辐角.于是有 .

复数的三种形式：

1. 数的代数形式 .

②复数的三角形式 .从直角坐标与极坐标的关系，把极坐标中， 带入代数形式中即可得出复数的三角形式.

③复数的指数形式 .

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