高阶方程的若干解法

论文总字数：10186字

摘 要

高阶方程在数学中有着举足轻重的地位，本文主要介绍高阶方程的各种解法，从这线性方程和非线性方两个方面入手对高阶方程解的各种方法进行研究.首先从一阶、二阶简单的微分方程入手，逐步过渡到高阶方程，利用常数变易法、比较系数法、数值解法等一系列方法对高阶方程的解探讨.

关键词：高阶方程，线性，非线性，变系数，常系数

Abstract：High order equation holds an important place in mathematics, this work aims to study solutions of equation of higher order, from the two aspects of linear equation and nonlinear equation, various methods for high order equations are studied. First of all, from the first order and second order differential equation of simple, gradually transition to the high order equation, using the constant coefficient of variation method, comparative method, numerical method and a series of solutions of higher order equation.

Keywords：equation of higher order, linear equation, nonlinear equation, variable coefficient, constant coefficient

目 录

1 前言 3

2 高阶方程解题方法的简单介绍 3

2.1 高阶方程定义及解的定义 3

2.2 常见的高阶微分方程几类基本解法 4

3 高阶线性方程的解法 6

3.1 关于n阶变系数线性方程的求解 6

3.2 关于n 阶常系数线性方程求解 11

4 高阶非线性方程的解法 13

4.1 非线性方程的简单介绍 13

4.2 非线性方程的定义及特点 14

4.3 高阶非线性方程的几种基本解法 14

结 论 19

参 考 文 献 20

致 谢 21

1 前言

在数学系专业中，高阶方程具有重要地位，对于学好其他的数学科目起到了关键的作用.如今，它不仅在生活中被广泛的应用，而且相对来说已经形成一套比较完整的理论体系，因此高阶方程在数学基础课中占有显赫的地位.高阶方程又被分为很多类型，其中比较常见的就是高阶线性方程和高阶非线性方程两大类，其代数的解法为力学、天文学、电学等科技方面提供了重要的解析工具.

在许多实际应用中，高阶线性微分方程占据着重要的位置，它的求解问题是学习这门课程的重点也是难点.它的解存在很多性质，这就引导我们通过不同的性质对它的解进行研究，这样会出现很多不同的解法.人们对于一阶、二阶这种及其简单的高阶方程求解的方法有了很多的理论成果，而相对于高阶方程的求解过程如今还没有什么比较固定的解法.那么本文主要针对线性方程和非线性线性方程展开了讨论，在线性方程中又出现了常系数与变系数方程，为我们研究方程的解法提供的分类. 一般，在高阶常系数线性方程中，我们比较常见的手段就是可以运用特征根的方法进行求解，当然如果对于可以降阶的高阶微分方程来说，我们通常可以采用降阶法，也就是通过一定的变换把高阶方程转化为低阶方程进行求解.

如今科学技术发展越来越快了，需要的数学知识也就越来越多，因此在很多领域中都出现了非线性问题，比如在对生物多样性的分析、宇宙空间的研究、地理环境的考查等，多多少少都会涉及非线性问题，要解决这类问题我们就要经常需要用到非线性问题的求解来分析.想要解决这些问题，就需要建立不同模型的非线性方程，主要目的是将非线性高阶方程转化为比较常见的线性方程，然后再进行求解.

在科研、社会以及日常生活中，微分方程的求解方法似乎都有特殊的意义.所以作为理论联系实际的一种最为关键的途径，数学更应该发挥它的巨大作用.本文首先列举在一阶、二阶微分方程中几种种常见的解法，其次对几类高阶方程展开具体的讨论和分析.

2 高阶方程解题方法的简单介绍

2.1 高阶方程定义及解的定义

高阶方程的定义：

高阶方程一般形式分为两种，如下：

n阶隐式方程的一般形式为

， （2.1）

n阶显式方程的一般形式为

.

这类的方程称为高阶微分方程，式中F是所有变元的连续函数.求解方程(2.1)的重要的方法就是降阶法.

方程的解的定义

什么叫方程的解？其实就是符合等式两边的未知数的值.高阶方程能够化为一阶方程组，但能够求出通解的可能性和数量还不是很多.因此在本文中，首先从低阶方程开始入手，比如一阶、二阶开始，逐步过渡到高阶方程，主要目的是先将低阶方程的各种解法进行总结和归纳，为之后研究高阶方程打下基础.

设函数在区间L上有直到n阶的导数，如果把代入到方程

中，从而可以得到在区间L上关于x的恒等式是

,

那么就可以称是方程在区间L上的一个解.

2.2 常见的高阶微分方程几类基本解法

1. 可降阶的高阶微分方程的解法
2. 型，解法：接连积分n次，得通解.
3. 型，特点：不显含未知数，

解法：令，，代入到原方程中得出.

1. 型，特点：不显含自变量，

解法：令，代入原方程，得.

1. 线性微分方程解的结构
2. 二阶线性微分齐次方程解的结构，

形如 . （2.2）

若是解，则也是解；

若是两无关解，则是通解.

1. 二阶线性微分非齐次线性方程的解的结构，

形如 . （2.3）

那么非齐次方程的任意两解之差应该为相应齐次方程的解；

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