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摘 要

关键词：边界元法；本征值；波导；亥姆霍兹方程

Abstract:：This paper introduces the basic principles of boundary element method, and gives a general method of analysis polygonal waveguide eigenvalues by boundary element method, programmed to calculate the two regular polygons (equilateral triangle, square) cross-section of the waveguide characteristic values, results, and other consistent with the literature, it proves the correctness of the method.

Key words: Boundary Element Method; eigenvalue; waveguide; Helmholtz equation

目录

1 引言 4

1.1 波导的发展状况 4

1.2边界元法的发展与应用 4

1.3 本文的主要目标 5

2 边界元法的基本原理 5

2.1边界元法及其在位场中的应用 5

2.1.1 基本关系式 6

2.2边界元法的间接法 7

2.3边界元素和边界方程的近似求解 9

2.3.1 边界的分割和定常元素 9

2.3.2 把积分方程离散化形成代数方程组 10

2.3.3 和中矩阵元素的计算 11

3 用边界元法求解多边形波导特征值 14

4 数值计算 17

结束语 18

参考文献 19

致谢 20

1 引言

1.1 波导的发展状况

波导有着悠久的历史，但今天也有新兴的各种新型波导结构。各个波导系统不仅是信息，能量传输工具的载体，也是构成的各种通信，雷达系统及其部件的基础。今天，各种波导被广泛应用于现代通信，雷达，微波，毫米波和光学系统。其种类包括传输线类型的波导，金属类空心波导（例如圆形波导，矩形波导，椭圆形波导，三角形波导和近年来出现的五边形波导等），微带线类型的波导（例如，屏蔽微带线等），媒体类型波导（阶跃型光纤，椭圆形光纤，蝴蝶结光纤，光纤光栅等）。各种新材料波导更是层出不穷，等离子介质波导，等离子金属波导，非线性波导，光子晶体光纤波导已成为重要的研究对象。

波导结构多种多样，各具特点，不同的场合需要不同的波导元件。测量波导的电磁特性有许多参数，如场分布模式，单模式传输带宽，特性阻抗，色散特性，截止频率（或传播常数），电源容量等等。电磁波的波导传输的优劣的性能的重要指标之一是为了减少损失，降低成本，提高信号传输的质量。从平行双线、同轴电缆波导发展到空心波导，制作材料由介质导体发展到光导纤维。

波导的截止波数、截止频率对波导而言是很重要的参数，它们对电磁波能否在波导中传播起着决定性作用。波导本征值问题就是在亥姆霍兹方程中，确定系数k的问题，它是电磁场与微波技术中最基本问题之一，这不仅因为波导中传输波型的选择与此问题有关，而且很多微波部件的优化分析往往也是以此问题的求解为基础。

在现代微波理论和技术里，以满足各种可能被高性能系统提出的越来越高的需求，人们已经不满足于现有普通波导，具体表现在：一方面，对于一些指标对已有波导扰动分析和优化设计，另一方面也都在不断探索新的波导形状。

1.2边界元法的发展与应用

边界元法是用加权残数法把描述电磁场的偏微分方程及其边界条件变为一个边界积分方程；然后用与有限元相类似的方法，在边界上把这个问题离散化，从而得到一个代数方程组；解这个方程组就得到问题的近似解。

边界元法可以使问题的维数降低了一维^[4]。比如三维问题，由于只处理表面上的积分方程，因而变为二维问题。这使问题所需的初始数据大为减少，而且得到的代数方程组的矩阵阶数也少。这样减轻了输入数据的工作量且对计算机的要求也降低了很多。

边界元法虽然有诸多优点，但是边界元法也有一定的局限性。首先边界元方法必须事先明确偏微分方程的基本解，这使得它往往局限于求解常系数或某些特殊变系数线性偏微分方程。对于一般的偏微分方程，如果能够采用一些特殊的技术把它们的边值问题或初边值问题化为积分方程，这些积分方程往往是奇异积分方程，甚至是通常意义下不可积的奇异性积分方程，以至于只能在广义函数的意义上去理解这些积分。这一方面在技术上带来了数值积分的困难，另一方面也使对它的数学分析复杂化。

在未来的研究工作中边界元方法主要是针对以下几个方面进行:

(1)扩大边界元方法的应用范围，特别是用于非线性和带时间变量的问题。

(2)建立对工程技术界适用而经济的程序包。

(3)在数值计算上，改进奇异积分的计算，寻求解具有满的、非对称系数的线性方程组的有效而迅速的解法，处理带有体积分的技巧以及各种提高精度的算法等。

(4)关于边界元法的基本理论，包括对基本解、各种边界归化下的收敛性和误差分析的研究。

(5)与有限元方法以及其他数值方法取长补短，如藕合法、区域分解法等，形成更为有效的数值分析工具。

1.3 本文的主要目标

波导特征值问题是电磁场和微波技术领域中最基本的问题之一，这不仅是因为各种波导中不同模式的场型分析和传输特性的研究直接和该问题有关，而且很多微波部件和系统的分析，综合以及最优化又往往以该问题的求解为基础。因此对该问题的研究很意义。

本文拟用边界元法分析波导特征值，编程计算一些波导的特征值。

2 边界元法的基本原理

2.1边界元法及其在位场中的应用

边界法可以由加权余量法导出，并就函数W或μ满足特定微分方程的情况下，导出拉普拉斯和泊松方程的边界积分方程。就电磁问题对这个方法进行研究，用自由空间的格林函数作为权函数，并把问题的边界分成一系列的元素来近似求解。在近年来发表的有关论文中，把它称为”边界积分方程法（BIEM）”或“边界积分解法（BIS）”等。它与BIEM和BIS法已近有了许多不同之处。显然BEM法可以认为是加权余量法的一个特别情形，它与其他解法可以用加权余量法统一起来，是互相关联着的。

2.1.1 基本关系式

(1)基本关系式

设所研究的问题是在均匀各向同性介质中满足亥姆霍兹方程的边值问题，即

，在区域中； （2-1-1）

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