电磁理论中多极展开方法及应用的深入研究

论文总字数：7396字

摘 要

基于泰勒级数展开理论，针对静电场中电势积分式、电场矢量积分式，静磁场中磁矢势积分式、磁标势积分式、毕奥-萨伐尔定律，时变场中的推迟势以及辐射场矢量等表达式，研究电磁理论中的多极展开方法，给出推导过程，探讨物理意义。最后，给出一些应用实例。

关键词: 泰勒级数，静电势，静电场，静磁场，推迟势，辐射场

Abstract： Based on the Taylor series expansion theory, the methods of multipole expansion in electromagnetic theory are investigated，which comprises the integrations of the electro potential and electro field vector in electrostatic field；the integrations of the magnetic vector potential, magnetic scalar potential and Boit-Savart law in magnetostatic field；the retarded potential and radiation field vector in time-varying field,etc. The derivation process of the expansion are given and some physical meaning is explored. Finally, some practical examples are given.

Key words：Taylor series, electrostatic potential, electrostatic field, static magnetic field,retarded potential, radiation field.

目 录

0. 引言......................................................................................................4

1.数学准备................................................................................................4

2.静电场的多极展开及意义......... ... ... ... ... ................... ......... ..............6

2.1静电势积分的多极展开............................... ......................…..6

2.2. 静电场矢量积分式的多极展开.............................................7

3.静磁场的多极展开及意义............................................................ ...…9

3.1静磁场磁矢势积分式的多极展开............................................9

3.2静磁场磁标势积分式的多极展开........................................10

3.3静磁场积分式(或毕奥-萨伐尔定律)的多极展开.................11

4. 时变场的多极展开及意义...............................................……..........12

4.1 推迟势的多极展开................................................................12

4.1.1 简化处理方法……………………………………12

4.1.2 严格展开方法……………………………………14

4.2辐射场矢量的多极展开...................………………………..15

5. 多极展开结果的具体应用........................................…….................16

结语..........................................................................................................19

致谢..........................................................................................................21

0 引言

电磁势、电磁场的多极展开理论在物理学、材料学、化学、光谱学等诸多领域中有着重要的应用，用多极矩法求解电磁问题是解决有限电荷分布、电流分布在远区激发电磁场的重要方法，对于解决实际问题十分有用。在原子与分子物理学中，具有固有电偶极矩的原子、分子在外电场作用下可能引起附加能量，也可能原子或分子无固有电偶极矩时受电场作用而产生了感生电矩，造成原子、分子的能级分裂、谱线增宽，表现为一级或二级斯塔克效应。自旋电子学理论中说到，电子出现电偶极矩是由自旋-轨道耦合导致的。在核谱学中，电磁的作用过程导致发射，核内电荷分布及电流分布发生变化，用电偶极矩、电四极矩等来描述电荷分布，用磁偶极矩、磁四极矩等来描述电流分布。量子色动力学中，研究问题时经常使用中子电偶极矩概念。在一些材料的自发极化中，如铁电和压电陶瓷等，单位晶胞内正负电荷在一定温度范围内的中心不重合，形成了偶极矩，呈现象极性。计算化学中分子的偶极矩,四极矩,总能量,振动频率,反应活性等性质是使用数学近似及计算程序计算的，一些具体的化学问题也用其解释。在物质与光的相互作用过程中,通过分子偶极矩的变化将光子的能量传递给分子，等等，诸如此类，均表明研究电磁势的多极展开理论是有实际意义的。

本文利用多元函数的泰勒级数或幂级数展开公式，给出势函数多极展开结果，主要探讨展开式中前几项结果的物理意义，分析相关物理量的特性，并给出具体应用实例。

1. 数学准备

如图1所示多极展开模型，其中为电荷、电流分布的源区，图中各几何

图1 多极展开模型

量在笛卡尔坐标系中的表示为

首先，在远区，采用近似计算的方法，将在附近展开成泰勒级数

（1）

其次，将进行展开，得到

即

再由

得到矢量展开式

（2）

最后，由公式，得

并代入，且有，

(3)

2 静电场的多极展开及意义

2.1 静电势积分式的多极展开

已知静电势积分式

（4）

首先，将（1）式代入（4）式，得

其次，令体系的总电量、电偶极矩、电四极矩分别为

其中的分量式为

则

（5）

其中

（6）

（7） （8）

（5）式中，第一级近似结果（6）式是把V中所有电荷视作集中于原点在P点激发的电势。第二项近似结果（7）式，代表置于坐标原点的电偶极矩在场点P处产生的电势。第三项近似结果（8）式，即表示电四极矩的电势。

2.2 静电场矢量积分式的多极展开

已知静电场矢量积分式

（9）

首先，将（2）式代入（9）式，得

（10）

其中

（11）

（12）

（13）

（10）式中的第一级近似结果，它代表的物理意义是在全部电量集中于原点的情况下，远区产生的静电场为（11）式：。

在(12)式中，将移到积分号的外面，并定义

已知，则可把(12)式化为

(14)

(14)式即表示电偶极距置于坐标原点时，在远区产生的静电场的强度。又因为

所以(14)式可以改写为

再根据，可以得到该电偶极子在远区产生的静电势为

(15)

该结果与已知答案相一致。

对于(13)式，若定义体系的电四极矩并矢为

(16)

则因为与积分变量没有关系，就能把它移到（13）式中积分号的外面，得

(17)

(17)式就表示电四极矩置于坐标原点时，在远区产生的静电场强度。又因为，所以可把(17)式改写为

以此得到该电四极矩产生的静电势

该结果与(8)式一致。

3 静磁场的多极展开及意义

3.1 静磁场磁矢势积分式的多极展开

已知稳恒电流激发的磁矢势为

（18）

将（1）式代入（18）式得

（19）

现在继续研究展开式(19)中各项的物理意义。展开式(19)的第一项表达式为

由恒定电流的连续性，电流分布局限于V中，可将这一局部区域划分为许多闭合电流管，而每一闭合电流管载流I，有

故

(20)

即磁场展开式不含磁单极项。

展开式(19)的第二项为

同样，我们将恒定电流体分布划分成许多闭合电流管，每一闭合电流管视作载流I的闭线圈，在线圈上取点，则 ，利用全微分绕闭合回路的线积分为零，得

则任意一电流管的为

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