论文总字数：7396字

摘 要

本文利用欧氏空间中向量的內积证明柯西不等式，体现了该种方法的优点和使用特点.以及说明了以构造两个向量的方法，运用柯西不等式证明一些不等式、解决三角函数、求最值、解方程组、证明恒等式等问题.本文在结尾对构造向量的技巧也做了简单介绍.

关键词:欧氏空间，柯西不等式，向量內积

Abstract: In this paper, Cauchy inequality is proved by using the inner product of vectors in Euclidean space, which embodies the advantages and characteristics of this method. It is also explained that by constructing two vectors, Cauchy inequality is used to prove some inequalities, solve some problems of trigonometric functions, maximum value, systems of equations and identities. Cauchy inequality is used to prove other inequalities and proof of identities. At the end of this paper, the technique of constructing vector is also briefly introduced.

Keywords:Euclidean space, Cauchy inequality, Vector inner product

目录

1 前言 4

2 柯西不等式的基础知识 4

3 柯西不等式的应用 5

3.1 证明一些不等式 6

3.2 求最值、极值 8

3.3 解方程（组） 11

3.4 解三角函数和几何相关问题 12

3.5 证明恒等式 16

4 浅谈柯西不等式的应用技巧 17

4.1 巧用常数“1” 17

4.2 常数的巧拆分 17

4.3 因式的嵌入 18

4.4 结构的改变 19

4.5 项的巧拆分 19

总 结 21

参 考 文 献 22

致 谢 23

1 前言

本文研究的内容为欧氏空间下的柯西不等式及其应用.在数学研究中，不等式占有关键的一席之地，也是解决许多数学问题的重要的方法之一.而柯西不等式又是众多不等式的理论基础和基石，它的应用十分广泛，对于许多问题包括一些国际数学竞赛题，若是能根据题意恰当利用柯西不等式并加以变换形式来求解，便可以迎刃而解，解题效率事半功倍.而正确的理解柯西不等式是有效运用其解题的前提.但柯西不等式的本质含义不容易理解，而利用欧氏空间下的向量內积去理解和证明柯西不等式会变得简单.其关键在于向量的构造.

2 柯西不等式的基础知识

柯西不等式的基本形式^[1] 已知，则，当且仅当时取等．

定义 2.1^[2] 设是实数域上的线性空间，在上定义一个二元实函数，称为内积，记作，其中.如果它具有以下性质:对，有

①;

② ;

③ ;

④ ，当且仅当时，取等．

这样的线性空间称为欧几里得空间，简称欧氏空间．

定义2.2^[2] 在欧氏空间下的任意向量，．规定．

定义2.3^[2] 非负实数称为向量的长度，记为．

欧氏空间下的柯西不等式^[3] 在维欧氏空间中，对任意向量有当且仅当线性相关时取等号．

证法一 根据向量內积的定义，为向量和的夹角，.

所以

，

即

.

根据定义2.3将上式整理可得

.

当且仅当取0或，即两向量线性相关时，等号成立.

注 若用坐标形式将不等式中的内积表示出来，就是基本形式的柯西不等式.结果如下：

.

证法二 构造函数.设，所以对于任意，有

.

当时，，不等式成立.当时，由于成立，则

，

当且仅当，为常数，即线性相关时成立，即.不等式得证.

3 柯西不等式的应用

柯西不等式应用广泛.认清问题的结构特征，对其内部结构进行适当的调整，便可以将原题利用柯西不等式来解题.恰当运用柯西不等式可以将复杂问题变得简单，从而拓宽解题的思路、提高解题效率.在运用下的柯西不等式进行解题时，关键在于构造两个向量.

3.1 证明一些不等式

很多常用的不等式都可以用柯西不等式证明，其中一些不等式可以看做是它的变式，在运用其解题时，可以避免反复证明.下面就来谈一谈这些应用.

例3.1.1 若都是正数，求证.

证明 构造两个向量

根据柯西不等式，得

，

即为

.

所以，当且仅当时取等号.

例3.1.2 求证.

证明 构造向量，所以

，

.

根据柯西不等式，得

，

整理得

.

由此可推广证明

.

例3.1.3 求证对所有的实数组和，且，有

.

证明 设，构造向量，

所以

，

.

根据柯西不等式，可得

.

命题得证.

注 当例3.1.3中满足时，即为例3.1.2. 该不等式是柯西不等式的一个变式，在解决部分竞赛问题中有着很重要的应用，但美中不足的是这一形式适用的范围有些窄.

例3.1.4 证明三角不等式.

证明 因为

，

该式整体不适用柯西不等式，但可拆分证明.

构造向量，所以

，.

根据柯西不等式，可得

（1）

同理可得

（2）

把（1），（2）两个不等式相加，再除以

，

即可得

.

命题得证.

3.2 求最值、极值

对于有些求最值、极值问题，特别是求含有多个字母代数式的最值、极值或带有约束条件的最值、极值问题，运用柯西不等式往往容易奏效，而且方法简单易懂.这也是柯西不等式应用最多的领域之一.在此做重点介绍.

例3.2.1 设实数满足，求中每两个数之积的和的最大值.

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