函数一致连续性的进一步研究

论文总字数：5780字

摘 要

众所周知，上的全局性，是研究函数其他性质的基础，也是数学分析课程中的重要理论之一，因而对我们的数学学习非常重要.本文首先对一致连续性的概念与性质进行了简要的说明，其次整理了一致连续性的相关判别法和一些常见函数一致连续性问题，最后对一元函数的依据连续性判别法拓展到二元函数进行初步讨论.

关键词：一致连续性，康托定理，利普希茨条件，初等函数，二元函数

Abstract：As we all know, functions have many properties, and the uniform continuity of functions characterizes the global character of functions in an interval. It is the basis of studying other properties of functions and one of the important theories in the course of mathematical analysis. Therefore, it is very important for us to learn mathematics.This paper first gives a brief description of the concept and properties of uniform continuity. Secondly, it sorts out the related criteria of uniform continuity and some common problems of uniform continuity of functions. Finally, we discuss the extension of one-variable function to two-variable function based on continuity criterion.

Keywords：consistent continuity,cantor theorem，lipschitz condition，elementary function,two variable function

目 录

1 前言……………………………………………………………… 4

2 函数一致连续的定义…………………………………………………… 4

2.1 一致连续的定义…………………………………………………… 4

2.2 复合函数一致连续性定理 ……………………………………… 4

3 一致连续性的相关判别法 ………………………………………… 5

3.1 函数的连续性与一致连续性的关系 ………………………………… 5

3 .2 函数一致连续性的判定……………………………………………6

4 二元函数的一致连续性问题 ……………………………………… 12

结论 …………………………………………………………………… 14

参考文献………………………………………………………………15

致谢…………………………………………………………………… 16

1 前言

大学，，中的.一致连续性算是一个整体概念，与区间二者共同确定.我们的教.而对于无穷区间，有限开区间，并没有直观的判别方法，对于常见的初等函数一致连续性问题也没有系统的总结，当我们使用的时候，教材上的这些内容通.较苛刻，，用研究函数性质与一致连续的关系找到判断函数一致连续性的间接判别法.

本文针对传统判别函数给出.的感觉，建立感性认识.并且，能够将一致连续性与其它知识之间建立更加紧密的联系，形成网络，贯穿整个数学分析范涛.此外，对于函数一致连续性的研究，也有利于开拓数学分析研究思路，为解决其他问题奠定基础.

2 函数一致连续性的定义

定义1 ，

，，，.

，与所选取的任意两点无关，即.

在高中初次接触复合函数时，研究复合函数单调性时，常常把一个复合函数分开看成两个函数，分别判断其单调性从而确定整体函数的单调性.那么，对于一个复合函数的一致连续性问题的研究，也可以将其拆开来看，分别判断两层函数的一致连续性，从而确定

.

定理1（） 若对于区间,对于区间都是一致连续的，且，则.

证 由于，，总存在，当且时有

又因在上一致连续，故对于上述的，总存在正数，当且时有

综上可得：对于任给的正数，存在，，，因此.

3 一致连续性的相关判别法

3.1 函数的连续性与一致连续性的关系

，,性，.函数的,，的去证明.

定理2（） ,

续.

证 反证法 在闭区间，即

有

与

：，设

因为，所以也有

一方面,已知函数在连续,有。

即当充分大时,有 另一方面,有矛盾,

即函数在闭区间一致连续.

康托尔,我们能够直接判别出它在定义域内

一定是一致连续的..我们知道初等函数在其定义.,且它在该区间连续,则它在该区间一定是，这样,,我们只需讨论有限开区间，.

但是值得注意的是函数在有限开区间或者无穷区间上连续未必一致连续.也就是

说(区间,线段),但,我们利用

语言进行解释.

设集合为,对于任意给定的,及 ,总存在一个数使得当

时,恒有.同时,至少存在一个 使对于任意给定

的,都可以找到满足,但是.

例1 证明函数在定义域上一致连续。

证 反三角函数，则由康托尔定理可知函数

.

3.2 一致连续性的相关判别法

定理3 .

例2 ：在.

在.

证 ，由于

，就有

即函数在上一致连续.

，由于

可取，则对于任何，，就有

即在.

定理4() 要证明上，只要证明两端点处的极限存在且在该区间上连续.此时可以补充两端点的函数值，把，从而，故.

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