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摘 要

：本文在考虑环境污染的情况下，建立了物种的随机互惠模型. 首先对模型中每一物种建立弱平均持久、非平均持久和灭绝的充要条件，得到弱平均持久与灭绝的阈值. 其次研究模型解的全局渐近稳定性. 得到随机因素越多，物种越容易灭绝.

关键词：环境污染，随机因素，持久性，灭绝性

Abstract: Under the condition of considering the environmental pollution, this thesis establishes a stochastic cooperative population model. First of all, for each species in the model, the sufficient and necessary conditions for weak persistence in the mean, non-persistence in the mean and extinction have been established. At the same time, each species extinction and the average lasting threshold are got. Finally, the global asymptotic stability of the model solution is studied and the research results show that the more random factors, the easier the species becomes extinct in environmental pollution .

Keywords: environmental pollution, stochastic noises, persistence, extinction

目 录

1 引言 4

2 持续性和灭绝性 6

3 解的全局渐近稳定性 12

结论 15

参考文献 16

致谢 19

1 引言

21世纪以来，随着现代工农业的迅速发展，各种环境污染问题层出不穷，大量的有毒物质和污染物相继进入生态系统中，自然环境中的众多有毒物质的存在不仅严重危害人类的身体健康，更是影响到了生物种群的生存. 如何缓解甚至是根除环境污染的问题俨然已成为了全体人类社会永恒的课题，但这是个漫长的过程. 现阶段，研究生物种群在环境污染（尤其是毒素）的情况下如何生存，并找到一个物种灭绝或持续存在的毒物组织浓度的理论阈值，就显得尤为重要.

近年来，人们开展了大量研究，以探究环境污染对种群生存问题的影响. 最初，Hallam和他的同事^[1,2,3] 研究了具有毒素影响的单种群数学模型. 从那时起，许多学者提出并研究了许多具有毒素影响的单种群或多种群的确定性数学模型^[4～18]. 特别是，Liu和 Ma^[19]提出了环境污染下两个种群的Lotka-Volterra模型. Ma 等^[20] 和 Pan 等^[21]得到了阈值结果，并将其推广到n维食物链和n维互惠系统中.

值得注意的是，在自然界中，各种随机因素或多或少都会对种群造成一定的干扰. 其中May^[22]就曾指出由于环境的波动，系统中涉及的出生率、承载能力、竞争系数等参数表现出较大或较小的随机波动. 因此，为了研究环境可变性对种群动力学性质的影响，许多学者将随机因素引入确定性模型，Gard^[23]，Samanta和Maiti^[24]，Liu 和Wang等^[25,26]对环境污染中随机系统的单种群模型进行了一些成功的研究. 然而，由于物种在自然界中并不是单独存在的，因此研究受毒素影响的两个或多个相互作用物种的随机系统中其持久生存与灭绝的阈值具有更重要的生物学意义. 而在环境污染下的随机互惠系统是种群生态系统中非常重要的一类，Wang^[27]提出了如下的随机互惠模型：

(1)

其中代表时刻物种的数量；代表物种的内在增长率；代表物种对体内毒物浓度的剂量反应参数；代表时刻生物体内毒物的浓度；代表物种对物种生长速率的影响；是物种的种内竞争系数；和是两个定义在完备概率空间上相互独立标准的Brown运动，是滤子并且满足通常条件（右连续且关于是适应的，包含所有零集）；表示随机干扰的强度；参数和都是正常数，表示每单位质量生物体对环境毒素的吸收率；表示每单位质量的生物体从食物中对毒素的吸收率；表示资源中毒物的浓度；表示每单位质量的生物体对食物的摄取率；和分别表示生物体对毒物的分解率和排泄率；表示时刻环境中毒物的浓度；表示生物体由环境中对毒物的净吸收量；表示生物体由食物对毒物的净吸收量；表示由于机体代谢和排泄导致的毒物减少量；参数反映了环境对毒素的清理能力；表示时刻时环境的毒物排放率. Wang^[27]得到了模型(1)物种弱平均持久生存与灭绝的阈值.

在阅读文献^[28]之后，有两个问题值得认真思考：

(1) 对自然界来说，可能有相互独立的随机因素影响着和，也有相互关联的随机因素影响着和，但在模型(1)中，所有的研究都是建立在假设影响参数和的随机因素是相互独立的基础上的. 如，和可能会受到雨雪天气的影响. 因此，如果有相互关联的随机因素对和造成了影响，那么研究结果又将如何？

(2) 模型解的全局渐近稳定性在研究种群模型的过程中同样具有深入研究的价值. 然而模型解的全局渐近稳定性在文献^[27]中没有被充分考虑到.

本文研究以上问题. 其随机模型如下，其中假设有个独立标准的Brown运动干扰着..

(2)

其中初值条件为

,

，是常数，是定义在空间上相互独立标准的Brown运动.显然，如果

,

则模型（2）就退化成模型（1）.

由上述提出的两个问题，第2章考虑模型（2）中每个种群非平均持久、弱平均持久与灭绝的充分条件，得到弱平均持久与灭绝的阈值. 第3章研究模型（2）的全局渐近稳定性. 文章最后给出具体的研究结论.

2 持续性和灭绝性

在本章节中，相关模型的研究和讨论需要考虑到种群和种群的持续性与灭绝性. 在研究开始之前，本文首先引入下述一些符号. 记为

,

,

,

.

引理1 ^[29] 假设，其中.

(1) 如果存在，和，使得

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