论文总字数：5536字

摘 要

：似然比检验是数理统计中的重要内容之一，它在假设检验中有着非常重要的地位，是一种应用很广的方法. 本文首先阐述似然比检验的一些基本概念和思想，然后对似然比检验在正态分布、指数分布、两点分布、泊松分布等常见分布中的检验结果进行了推导，最后举例说明似然比检验的应用.

关键词:似然比检验，正态分布，指数分布，两点分布，泊松分布

Abstract：Likelihood ratio test is one of the important contents in mathematical statistic. It is a widely used method which plays an important role in hypothesis testing. In this paper, some basic concepts and ideas of likelihood ratio test are stated. Then the results of likelihood ratio test in common distributions such as normal distribution, exponential distribution, two-point distribution and poisson distribution are deduced. Finally, examples are given to illustrate the application of likelihood ratio test.

Keywords：Likelihood ratio test, Normal Distribution, Exponential Distribution, Two-Point Distribution, Poisson Distribution

目 录

1 前言 4

2 似然比检验 4

3 常见分布总体的似然比检验 4

3.1 正态分布的似然比检验 4

3.1.1 正态总体均值的检验 4

3.1.2 正态总体方差的检验 7

3.2 指数分布的似然比检验 9

3.3 两点分布的似然比检验 10

3.4 泊松分布的似然比检验 12

4 应用实例 13

结 论 15

参 考 文 献 16

致 谢 17

1 前言

似然比检验是Jerzy Neyman和Egon sharpe Pearson于1928年提出的一种假设检验方法,它在假设检验中具有重要的地位,是一种应用很广的方法,且具有多种最优性质.与一般检验方法相比，似然比检验不需要考虑总体的分布以及参数的限制条件，因此更具一般性.

本文首先阐述似然比检验的基本概念及其思想，然后对似然比检验在正态分布、指数分布、两点分布、泊松分布等常见分布中的检验结果进行了推导,最后通过实例说明似然比检验的具体应用.

2 似然比检验

似然比检验的定义为无约束条件下的似然函数最大值与有约束条件下的似然函数最大值之比.

定义^[1] 连续性分布的似然比检验

设密度函数为,是未知参数,所检验的假设为；对立假设,其中为的非空子集.似然函数为,令,,则似然比为,当的值接近于1时,认为为真；反之则拒绝原假设,接受备择假设.

同样,离散型随机变量有相似的定义.

似然比检验的思想是通过构造似然比检验统计量,计算没有条件限制的模型里极大似然估计与有条件限制的模型的极大似然估计的比值. 的值越接近于1,说明参数越接近于,即越有理由认为原假设成立. 因此与一般的假设检验相似,根据给定的显著性水平求的临界值,当时则接受原假设,反之则拒绝原假设.

3 常见分布总体的似然比检验

3.1 正态分布的似然比检验

3.1.1 正态总体均值的检验

(1) 方差已知时的双侧检验

设随机变量的概率密度函数为,即,,所要检验的假设为,,为样本的观测值,下面讨论其拒绝域.

的似然函数为

,

解得 .

从而 ,

.

则得似然比为

.

当显著性水平为时,该检验的拒绝域为

,

其中为使得的常数. 当时,,所以可得,即

.

（2）方差已知时的单侧检验

设随机变量的概率密度函数为,即,已知,, 所需要检验的假设为,,为样本的观测值,下面讨论其拒绝域.

的似然函数为

,

解得 .

从而

,

当,,原假设显然成立. 所以只需要讨论,此时该检验的拒绝域为

,

又由,可得显著性水平为时,,即拒绝域为

.

同理,当所检验的问题为,时,拒绝域为

.

类似地,我们可以得知方差未知的情况下均值的拒绝域（显著性水平均为）分别是：

(I). 所检验的假设为,,拒绝域为,

其中.

(Ⅱ). 所检验的假设为,,拒绝域为,

其中 .

(Ⅲ). 所检验的问题为,时,拒绝域为,

其中 .

3.1.2 正态总体方差的检验

（1）未知的双侧检验

设,未知,为样本的观测值,所检验的假设为 ,,下面讨论其拒绝域^[3].

的似然函数为

.

从而 ,

,

.

令 ,当 时,,可得.显著性水平为时,该检验的拒绝域为

,

其中满足,即

,

其中为自由度为的分布的密度函数.

（2）未知时的单侧检验

设,未知,为样本的观测值,所检验的假设为 ,,下面讨论其拒绝域.

的似然函数为

,

解得 .

从而 ,

当,,原假设显然成立,所以只需要讨论时的情况. 令 ,当 时,,可得.显著性水平为时,该检验的拒绝域为

.

同理,当所检验的问题为,时,拒绝域为

,

其中.

类似地,我们可以得知已知的情况下正态总体方差的拒绝域（显著性水平均为）分别是：

(I). 所检验的假设为 ,,拒绝域为

,

其中满足,.

(Ⅱ). 所检验的假设为 ,,拒绝域为

,

其中.

(Ⅲ). 所检验的假设为 ,,拒绝域为

,

其中.

3.2 指数分布的似然比检验

设服从指数分布,随机变量的概率密度函数为其中为常数,为样本的观测值,所需要检验的问题为

下面讨论其拒绝域^[4].

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