浅谈初中数学中的动点问题

论文总字数：9223字

摘 要

关键词：初中数学，动点问题，解题技巧

Abstract:The problem of moving point is one of the important problems in junior middle school mathematics, and it is also a hot issue in the middle school entrance examination. In this paper, by analyzing of the typical examples, the problems of moving point are classified, the steps of solving all kinds of moving point problems are given, and some skills to solve the moving point problems are summarized.

Keywords: junior middle school mathematics, the problem of moving point,problem-solving skills

目 录

1 引言 4

2 动点问题的概述 4

3 动点问题的分类与解题技巧 4

3.1 动中不变问题 4

3.2 最值问题 6

3.3 存在性问题 10

结 论 15

参考文献 16

致 谢 17

1 引言

通过对历年中考真题的分析发现，初中数学中的动点问题一直是各省各市在中考真题中的压轴题型，所占分值较大，难度较高. 初中动态问题包含几何图形、代数与公式、方程与函数等知识，可以反映出学生对所学知识的实际应用水平，空间想象力及分析问题的精准度和解决实际问题的能力. 因此，初中学生学习动点知识有利于以上所述能力的提高. 动点问题的出题方式十分灵活，不拘泥于单一模式，经常综合其他知识点来考察学生对初中整体知识的把握. 在动态问题中，动点的变化过程和运动规律需要丰富的空间想象力去理解. 观察、操作、推理、想象等能力也成为解决动点问题的关键环节. 动点问题多数涉及到图形、坐标、函数、方程等知识点. 对此，学生在求解过程中经常不得其法或思绪混乱，因而得分较低. 对于动点这样复杂几何问题的教学，许多教师也没有实践出一套具体有效的教学方法，导致教学效果不理想，学生解题能力无法提高.因此，研究初中数学知识点中的动点问题是十分有价值的.

2 动点问题的概述

动点问题是指图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线或弧线上运动的一类重要的开放性动态问题^[1]. 初中阶段，动点题型常将几何和代数知识综合起来，使得问题灵活难解，有利于学生空间想象能力的发展及综合分析能力的提高. 因此，动点问题一直都备受中考的青睐，多为压轴题.

3 动点问题的分类

初中阶段，动点问题涉及到多方面知识点，在函数、方程和几何图形等知识上应用的最为广泛. 在动点运动过程中，还常伴随产生等量关系、比例关系、函数关系等. 此外，动点问题的命题思路是不拘泥于课程标准、教材大纲的，题目形式多样，题意新颖多变，常考的类型有以下几种.

3.1 动中不变问题

动中不变的动点问题是初中动点题中出现最多，也是最基础的题型，大多是在三角形、四边形、多边形、圆等图形上存在一个或多个动点，随着点的运动变化，图形的位置关系、线段的数量关系、夹角的大小关系等会发生“变”与“不变”的一类问题. 在解题过程中渗透空间观念和合情推理^[2].

例1. 如图1，为⊙的直径，，为半圆的中点. 为弧上一动点，延长至点，使. 若点由点运动到点，则点运动的路径长为多少？

图1

解 连接,. 当时，. 又因为，所以∽，所以. 所以点的路径是一条过点且垂直于的线段. 当点运动到点时，，所以，故点运动的路径长为.

小结：有关路径问题，通常有两类，其一是线段，关键是判断起始点与终止点是否在同一条定直线上运动；其二是圆弧，关键是判断动点到某定点的距离是否不变，或动点与两定点的张角是否为定值. 本题通过利用已知条件来构造三角形，经过分析得出随着动点的变化，两个三角形始终是相似的，动中求静解出问题.

例2. 如图2，已知矩形的对角线上的一动点，正方形的顶点都在边上，若，则的值为多少?

图2

解 由题意可知，所以. 又因为，所以∽，故. 又因为是矩形，所以，所以. 设，则.由于为正方形，因此==，所以====.

小结：解这类题目要善于运用转化思想，本题将转化为是解题的关键. 无论动点在对角线上如何运动变化，是不变的，抓住这个条件，那么求解就可以转化为求解，这样就极大的减轻了解题的难度.

总结：解动中不变的动点问题时，需审清题意，从题中所给的条件出发，找到动点，确定动点的运动轨迹，再分析图中的不变因素，是直线或线段所在直线位置关系不改变，还是线段或线段所在直线的夹角不改变，还是图形的相互关系不改变，以静制动是解决问题的关键.

3.2 最值问题

动点问题中的最值问题难度较高，需要分析动点在不同位置所构造的图形形状，才能做好计算推理的过程. 线段最值问题和面积最值问题都是属于高频考题.

对于线段最值问题，在分析动点变化的过程中，往往会被复杂的线段干扰，出现模棱两可的情况，或者只能凭借感觉找特殊点，解题过程达不到数学的严谨要求. 解这类题目时，重点是弄清楚要运用什么性质来求出最值的. 应用最多的是: 两点之间线段最短；点到直线的距离垂线段最短；三角形两边之和大于第三边等^[3]. 不管是哪种图形，线段之间是什么样的位置关系，本质上都是要用对称、平移或等量转化等方法来使得线段首尾相接，共成一线.有时也利用函数思想来求解最值.

例3. 如图3，菱形的边长为，，点在上运动，且点在点的左边，，那么的最小值是多少?

图3

解 将点沿方向平移个单位长度后得点，连接，则四边形为平行四边形，所以，所以. 连接，那么的最小值是. 再连接，因为，所以. 又因为，所以，所以，故的最小值是.

小结：本题是通过平移变换，将点向右平移构造出平行四边形，再利用“两点之间线段最短”的理论依据求其和的最小值^[4].

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