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摘 要
对称性定理是简化积分计算的有效工具．本文较为系统地归纳了定积分、重积分、曲线积分、曲面积分计算中的对称性定理，并且结合实例探讨了上述定理在简化积分计算方面的重要作用．关键词：对称性定理，积分计算，奇偶性
Abstract: Symmetry theorem is an effective tool for simplifying integral calculations. In this paper, the symmetry theorems for definite integral, multiple integral, curve integral and surface integral are systematically summarized, and the important role of these theorems in simplifying integral calculation is discussed by examples.
Keywords: symmetry theorem, integral calculation, parity
目 录
1 引言………………………………………………………………………………………………4
2 定积分计算中的对称性定理及其应用……………………………………………4
3 重积分计算中的对称性定理及其应用……………………………………………5
3.1 二重积分计算中的对称性定理及其应用………………………………………5
3.2 三重积分计算中的对称性定理及其应用…………………………………7
4 曲线积分计算中的对称性定理及其应用…………………………………………8
4.1 第一型曲线积分计算中的对称性定理及其应用………………………………8
4.2 第二型曲线积分计算中的对称性定理及其应用…………………………10
5 曲面积分计算中的对称性定理及其应用…………………………………………11
5.1 第一型曲面积分计算中的对称性定理及其应用……………………………11
5.2 第二型曲面积分计算中的对称性定理及其应用……………………………12
结论……………………………………………………………………………………………………15
参考文献…………………………………………………………………………………………… 16
致谢……………………………………………………………………………………………………17
1 引言
微积分是一门重要的数学分支，积分学是微积分中的重要内容，在许多的学科中都有着重要的应用．而积分的计算问题又是积分学中必须首先解决的一个基本问题．目前关于积分计算方面的文献较多[1]-[10]，本文将系统给出定积分、重积分、曲线积分及曲面积分中的对称性定理，并将运用这些定理简化上述各种积分的计算．
2 定积分计算中的对称性定理及其应用
定理1[1] 设函数在区间上连续，若对，有，则
；
若对，有，则
．
需要指出，当定理中的闭区间换成开区间时，定理1的结论仍然是成立的．根据定理1，当积分区间是对称区间且被积函数为奇函数或偶函数时，若能巧妙地利用对称性定理，那么定积分的计算将会得到很大的简化．
例1 计算积分．
分析 本题直接计算是比较困难的，但积分区间不关于原点对称，似乎不能使用对称性定理，此时我们可以通过变量替换改变积分区间，同时保持被积函数的奇偶性，再利用对称性定理来简化运算；
令，，则
．
3 重积分计算中的对称性定理及其应用
3. 1 二重积分计算中的对称性定理及其应用
定理2[2] 设函数在有界闭域上连续，，与关于轴对称，与没有公共内点．若对，有，则
；
若对，有，则
，
其中是在轴的右半平面部分，即．
定理3[2] 设函数在有界闭域上连续，，与关于轴对称，与没有公共内点．若对，有，则
；
若对，有，则
，
其中是在轴的上半部分，．
定理4[2] 设函数在有界闭域上连续，，与关于原点对称，与没有公共内点．若对，有，则
；
若对，有，则
，
其中，．
例2[3]（2006年考研数学试题） 设区域，计算二重积分．
分析 由题意知积分区域为关于轴对称，并且
根据二重积分的对称性定理有
．
令
则
．
故
．
例3[3] 求二重积分的值，其中是由直线,和围成的平面区域．
分析 本题给出的积分区域虽然不对称，但我们可以将其分割成对称的两块区域，从而借助上文的对称性定理来解决．这里我们很容易想到添加一条辅助线，那么积分区域被分割成了两块，分别记为和，其中关于轴对称，关于轴对称．观察被积函数，发现并不满足定理2和定理3的条件，但可把所求积分拆分为
，
易看出上式等号右边的两个积分中的被积函数均满足定理2和定理3的条件．应用对称性定理，得
，
．
因此
．
3. 2 三重积分计算中的对称性定理及其应用
定理5[2] 设空间内的有界闭域，其中与关于面对称，且与没有公共内点，为定义在上的连续函数．若对于，都有，则
；
若对于，都有，则
，
其中，分别是位于面上方和下方的部分，即，.
同样地，若关于平面或平面对称，被积函数满足相应条件，也有相似的结论．
例4 计算三重积分的值，其积分区域为和所围成的区域．
分析 首先判断为关于平面对称的．由于
，
根据对称性定理，有
．
下面用球面坐标变换计算．令
, , , , , ,
则有
，
故
．
4 曲线积分计算中的对称性定理及其应用
4. 1 第一类曲线积分计算中的对称性定理及其应用
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