具有分形特征系统中的螺旋波

论文总字数：9721字

摘 要

螺旋波的研究具有重要的实际应用价值。在可激发系统、双稳系统以及振荡系统中均可以观察到螺旋波。本文是在前人的基础上利用元胞自动机模拟激发介质中的螺旋波来分析分形异质结构对螺旋波的影响。分形的异质性是由Monte Carlo模拟方法产生。我们通过观察尖端的瞬时运动，对结果定性分析发现，考虑分形异质性介质情况，尖端被分形异质区域的主要分支吸引，并沿分支运动。尖端最终会被顶出异质区域，但如果是一个非流通的边界，尖端不能离开异质区域，只能沿着边界运动。

关 键 词: 螺旋波 ,元胞自动机 ,尖端轨迹 ,分形异质性

Abstract: Spiral wave study has important application value. spiral waves can be observed in excitable systems, oscillating system and bistable system. This article use cellular automata simulation on the basis of previous spiral waves in excitable media to analyze the impact of the heterogeneous structure of fractal spiral waves. Fractal heterogeneity is generated by the Monte Carlo simulation method. We observe the instantaneous movement of the tip. The results of qualitative analysis show that, when a homogeneous medium suddenly becomes a fractal heterogeneous media, tip of fractal heterogeneous region is attracted by the main branch and moves along the branch. Tip will eventually be the top of the heterogeneous region. But if it is a non-negotiable boundaries, it can not leave the tip of fractal heterogeneity, only move along the boundary.

Keywords: Spiral wave ,Cellular automata , Tip trajectory ,Fractal heterogeneity

目 录

1 引言……………………………………………………………………4

2 元胞自动机模拟激发介质中的螺旋波………………………………6

2.1 模型和演化规则……………………………………………………6

2.2 模拟结果和分析……………………………………………………7

3 分形异质结构对螺旋波的影响………………………………………8

3.1 模型…………………………………………………………………8

3.2 结果和讨论…………………………………………………………9

结　论……………………………………………………………………13

参考文献…………………………………………………………………14

致谢………………………………………………………………………15

1 引言

1.1研究螺旋波动力学的实际意义

目前，时空混沌，斑图动力学及分形结构作为非线性交叉学科的研究的重要领域引起人们极大关注，其中斑图动力学的一个重要课题是关于螺旋波的研究。螺旋波广泛存在于自然界的各种系统中，在生物，物理，数学，化学，医学等学科中都会涉及到它的相关问题，所以研究它具有非常重要的应用价值。比如在医学上，当心脏组织的螺旋波失稳至湍流态，螺旋波的这种自发破碎就会引起心脏的纤维颤动^[1]，此称之为心颤。自心颤被认为是心脏猝死的一个主要原因后，螺旋波的研究就被人们极大关注。因此，建立螺旋波和螺旋湍流物理模型，深入探索它的影响因素将大大有利于心脏病，心跳过速和心脏猝死等相关疾病的医治。

1.2 可激发系统中螺旋波动力学模型

我们可以在可激发系统、双稳系统以及振荡系统中观察到螺旋波，其中大多数产生螺旋波的系统都是可激发系统。下面我们用相关模型来研究在可激发系统中螺旋波的形成，失稳和动态平衡。

（1）反应扩散模型

最初苏联化学家Belousov和生物学家Zhabotinsky^[2]在化学反应中发现了螺旋波。在一定条件下，体系出现美丽的花纹，花纹以螺旋状向外旋转或以同心圆形式向外扩散。所以对于螺旋波的研究最初采用反应扩散模型。反应扩散模型可用偏微分方程的形式描述

其中，x,y表示反应物的浓度；f(x,y),g(x,y)表示体系的非线性动力学函数；D_x，D_y是扩散系数；是拉普拉斯算符；为一小量，使x,y方向具有不同的时间尺度。求解偏微分方程，当f(x,y)=0,g(x,y)=0时有唯一稳定均匀解。

通过对偏微分方程进行数值求解，反应扩散模型可以给出化学反应中螺旋波的动力学特征，可以研究螺旋波的一些波的特征，如波长、周期、波速，以及螺旋波尖端轨迹和波的稳定性。

（2）FitzHugh-Nagnmo模型

1952年，Hodgkin和Huxley第一个提出了关于波在乌贼神经中传播的数学模型离子模型^[3]。1962年，在此基础上Noble提出应用于心脏组织的生理学模型，即Noble模型^[4]。采用离子模型研究心脏组织，可以给出心脏组织的一些基本性质，如心脏组织细胞的离子密度的动力学变化，回归性质等等。但离子模型存在很大缺陷，它只适合模拟单一的心肌组织，而真实的心肌组织是复杂多样的，由成千上万的心脏细胞组成。另外，离子模型在很多重要问题上的模拟结果不尽如人意，如心脏中的再入性心动过速问题，对于这种大尺度空间的心脏组织采用离子模型的计算量是非常巨大的，目前的计算机运行很难达到要求。

为了解决计算机数值模拟时运算量大的问题，研究者又提出了一些其他模型。如

一个简单的二变量模型。

前面提到的这些模型可以用于研究激发介质、双稳态介质和振荡的化学介质中很多非线性现象。但在激发介质中研究螺旋波更有效的是采用FitzHugh-Nagumo模型^[5]，与前面的简单二变量模型相比多了扩散项。

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