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摘 要

在经典物理中，谐振子的运动学方程由牛顿运动定律推导得出，它的能量是连续的，能量的最小值允许等于零。在量子物理中，谐振子用波函数描述，其位置不能被准确预计，能确定的只有微粒出现在某一位置的概率。量子力学中，谐振子的振幅近似认为是无限的，能量必须分立取值，其能量最小值为，即最小值不能等于零。但随着能量的增高，在经典力学中出现在最大位移处的概率密度与量子力学中概率密度的最大点越来越接近。量子力学中的概率密度平均说来与经典力学中的概率密度相近，即能量高时量子力学的结果将与经典力学基本一致。

关键字：经典力学，量子力学，谐振子，概率

Abstract: In classical physics, kinematics harmonic oscillator deduced from the Newton"s laws of motion. Its energy is continuous and the minimum of energy is zero. In quantum physics, the harmonic oscillator is described by the wave function. Its location can not be accurately projected and determined only in the probability of a location. Quantum mechanics, the amplitude of the harmonic oscillator approximation considered to be infinite. The energy must be discrete values ​​and its minimum is not equal to zero. However, with increased energy, the maximum point in classical mechanics appears closer to. the probability density of the quantum mechanics. The average of probability density of quantum mechanics is similar to that of the classical mechanics. The high energy of quantum mechanics is equal to that of the classical mechanics.

Keywords：Classical mechanics, Quantum mechanics, Harmonic, density

目 录

1.引言 4

2.经典力学角度的谐振子问题 4

2.1动力学特征 4

2.2运动学方程 5

2.3能量 6

3.量子力学角度的谐振子问题 7

3.1薛定谔方程 8

3.2波函数 10

3.3能量 11

4.经典谐振子和量子谐振子的不同点 15

4.1状态的描述 16

4.2运动的频率 16

4.3振动幅度（运动区间） 16

4.4能量 16

4.5 零点能 17

5.经典谐振子和量子谐振子的相同点 17

结论 20

参考文献 21

致谢 22

1. 引言

不论在微观中还是宏观中，生活领域还是学术科研领域，谐振子问题的出现频率都十分高。生活中，乐器弦和膜的振动，弹簧上物块的振动，都属于谐振子问题；学术科研领域，微粒的振动，热辐射和吸收，同样也属于谐振子问题。可见该物理模型不仅涵盖了一些常见的日常活动，还涵盖了力学，量子力学，固体物理，量子光学等学领域[^[1]]。谐振子问题不仅出现在经典力学中，也是量子力学中的一个基本问题。在经典力学中，谐振子运动问题主要表现为简谐振动。其运动学方程，位移，能量等问题都能一一确定。在量子力学中，谐振子问题主要表现在微粒之间的运动。其状态的描述不再像经典力学中借助牛顿第二定律推导，而是借助一种新的描述方式，波函数。并且在量子力学中，谐振子的位置和能量不能一一确定。

本文将从经典力学和量子力学两个大方向切入，从谐振子本身的一些性质出发，例如描述的方法，频率，振幅，能量等方面，讨论谐振子问题在经典物理和量子物理中的的区别和联系。

2. 经典力学角度的谐振子问题

在经典力学中，谐振子有如下描述：

先介绍平衡位置的概念：若一个质量大小为m的质点在某个位置所受到的合力为零（或者其沿着运动方向所受到的合力为零），我们称这个位置为平衡位置[^[2]]。如果作用于该质点的力总是与质点相对于平衡位置的位移成正比，并且力的方向指向平衡位置，我们就称这个力为线性回复力[^[3]]。设质点沿着x轴方向运动，距离原点的位移为x，线性回复力为F，则：

（k是力常数）

我们称这样运动为简谐振动，做这样运动的的粒子为谐振子。

2.1 动力学特征

因为：

(2.1.1)

根据牛顿第二定律：

(2.1.2)

用m除上式两端，并令，上式可以写作：

或 (2.1.3)

式中的决定于震动系统本身的性质。以上式子是谐振子在经典力学中的动力学方程。

2.2 运动学方程

根据常微分方程的理论，微分方程 的解可以写作：

或 (2.2.1)

其中

A和是待定常数，需要根据初始条件来决定。以上式子就是谐振子在经典力学中的运动学方程。

现在对上式各量的物理意义作出讨论。

1. 周期、频率和圆频率

并且正弦、余弦函数的周期为

即： (2.2.2)

(2.2.3)

(2.2.4)

我们将称作圆频率。圆频率与频率只相差一个，即和是等效的。

周期、频率、圆频率都决定于振动系统本身的特征。以弹簧振子为例，它们决定于系统的质量、劲度系数等；在单摆中，它们决定于系统的质量、摆长、转动惯量等。

1. 振幅

在经典力学中，谐振子振动的最大位移是有限的。我们将物体离开平衡位置的最大位移的绝对值叫作振幅，用字母A表示[2]。

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