构造法在数学分析中的应用

论文总字数：5398字

摘 要

关键词 构造法，数学分析，转换思维

Abstract:Construction method is not only a very important mathmatical thought, but also a very important mathmatical method. The article introduces some kinds of constructive method through specific examples and points out the key to the constructive method clearly. Also it discusses that if you want to solve the maths problems with constructive method, you should have the ability of observing problems, analsing problems, association, transformation and so on .

Keyword:construction method, mathematical analysis, converts the thinking

目录

1. 引言……………………………………………………………………………………… 3
2. 构造法的基本思想概述……………………………………………………………3
3. 常见的几种构造方法……………………………………………………………… 3

3.1构造数列………………………………………………………………………………3

3.1.1构造数列在归结原则中的应用…………………………………… 3

3.1.2构造数列在极限求解上的应用…………………………………… 4

3.1.3构造数列在连续函数中的应用…………………………………… 5

3.1.4构造数列在积分定义上的应用…………………………………… 5

3.2构造函数………………………………………………………………………………6

3.3构造集合………………………………………………………………………………7

3.4构造反例………………………………………………………………………………8

3.5构造积分………………………………………………………………………………8

3.6构造区间………………………………………………………………………………10

3.7构造对称………………………………………………………………………………10

3.8构造级数………………………………………………………………………………11

结论……………………………………………………………………………………………12

参考文献…………………………………………………………………………………… 13

致谢……………………………………………………………………………………………14

1. 引言

数学分析中有着大量存在性问题，在数学分析的定义、定理和习题中随处可见.存在性命题的出现，总有下面的基本形式：存在一个具有“某种性质的事物”，使得“某事情发生”.看下面的例子：

（1）数列收敛的定义：设为数列，为定数.若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有，则称数列收敛于.

（2）拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件:(i)在闭区间上连续；（ii)在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得

.

1. 习题：证明：若正项级数收敛，且数列单调，则.

解决存在性命题，构造法是经常运用的一种方法.构造法在数学分析中有着广泛地应用，其对数学的研究、发展和问题的解决都具有重要的意义，同时有利于培养学生的创造性思维.但如何构造一个恰当的数学模式，常常使人感到困惑.本文将首先阐明构造法的基本思想，再总结几种常见的构造方法：构造函数、构造数列、构造反例、构造对称等等，并在每种方法后通过具体实例来说明其在数学分析中的应用.

2.构造法的基本思想概述

构造的思想是数学中的一种基本思想.构造的思想方法是指在解决问题中根据问题的特殊性，利用已知的条件和已有的数学知识，通过观察、分析、联想等一定的手段，构造出与所需解决问题相关并且有助于解决问题的数学对象，或者是新的数学模式，从而使问题得以转化，并得以解决.

3.常用的几种构造方法

3.1构造数列

构造数列即是把一个相对而言较为复杂的函数问题经过适当的变形转化成已知的数列模型，然后根据对该数列的分析求解从而解决原函数问题.

3.1.1构造数列在归结原则中的应用

归结原则简述 对任何有.由归结原则的定义可以看出构造数列的重要性.

例1 证明不存在.

证明 因为在上有定义，

令，，

显然有，，

并且，，

但是，，

然而，

由归结原则可知不存在.

3.1.2构造数列在极限求解上的应用

例2 若，求数列的极限.

解 构造数列

所以数列为递减数列，其首项为最大项.

因为，所以有，.

故而.

同理可证

所以

而

所以由夹逼定理得

3.1.3构造数列在连续函数中的应用

例3 证明（连续函数在闭区间上的有界性定理）

若函数在有界闭区域连续，则函数在有界，即存在，任意，有.

证明：假设函数在无界，

即任意，存在，使

当时，存在使

当时，存在使

…

当时，存在使

…

于是得到有界点列，任意，

且

由致密性定理，点列存在收敛的子点列

设

一方面，已知函数在有界闭区域连续，有

另一方面，已知，从而

与 矛盾

所以在有界闭区域上有界.

3.1.4构造数列在积分定义上的应用

在数学分析中，对积分定义的探索过程也使用了构造数列这一方法.积分定义简述如下：

设函数在闭区间上有定义，在内任意插入个分点：，，,，，令，，使…，记分割，，.，（表示每个区间的长度），，.则分割后每个小区间对应的面积表示为

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