平面向量中“一类几何图形题”的研究

论文总字数：7960字

摘 要

关键词：向量，平面几何，定值，最值．

Abstract: Plane vector has the dual attributes of geometry and algebra. It is not only a model of the combination of numbers and visual forms, but also an important tool in solving mathematical problems．In this paper, we used examples to solve the problem of the fixed value and the most value in the case of a class of geometric graphics by means of using the methods of linear operation, transforming coordinate calculation into algebraic problems and so on．

Key Words:vector，plane geometry,，fixed value，the most value problem．

目 录

1 引言 …………………………………………………………………………4

2 利用基向量法求平面向量中的“一类几何图形”题 ……………………5

2．1 定值问题 ……………………………………………………………………5

2．2 最值问题 …………………………………………………………………8

3 利用坐标法求平面向量中的“一类几何图形”题 ………………………10

3．1 定值问题 …………………………………………………………………10

3．2 最值问题 …………………………………………………………………13

结论 …………………………………………………………………………16

参考文献 ………………………………………………………………………17

1 引言

在数学中，几何向量（也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量），指具有大小和方向的几何对象，常用有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量概念的两大要素“方向”和“长度”使向量既有“形”的特征，又有“数”的特征，既联系几何，又联系代数．它是中学数学重要的知识网络交汇点，是数形结合思想的重要载体．

在中学的数学学习中，使用“形到形”的综合推理方法学习几何对大多数学生来说是困难的，而平面向量运算体系与代数运算体系基本相似，学生可以运用他们熟悉的代数方法进行推理，来掌握图形的性质，从而提高解决问题的能力，增强学生学习数学的兴趣，同时也为激发和培养学生的探索精神和创新意识提供了更广阔的天地．

由于向量的几何性质，又由于向量、点、序偶之间的对应关系，使得平面向量的运算可以建立在两套不同的运算体系之上，一套是基于基底的字母运算体系，一套是坐标运算体系．而这两套运算体系又分别涉及平面向量的两个重要定理：

定理1^[1] 如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使，，为所有向量的一组基底．

定理2^[1] 在直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底，任一向量由平面向量的基本定理可知，有且只有一对实数、， 使得，则叫做向量的（直角）坐标，记作．

在平面向量中，“一类几何图形题”一直是一个热点，也是一个难点。本文中的“一类几何图形题”是指平面向量中的定值或最值问题，即根据已知条件求某个量的值或者最值，如模、系数、数量积等．如果直接利用平面几何知识去解决此类问题，则会比较困难，而利用向量的知识，就能相对容易的解决．基于这两套不同的运算体系，可以将利用向量处理此类的方法分为以下两种：

（1）基向量法：选择适当的平面向量为已知向量或基向量，将其他向量用已知向量或基向量表示出来，利用向量运算的几何意义，通过向量的线性运算来解决．

（2）坐标法：建立适当的平面直角坐标系，将所需要的向量用坐标表示，利用向量的坐标运算法则来解决．引入向量的坐标表示后，使向量运算完全代数化，实现了数形的紧密结合．

利用上述两种方法把图形的基本结构转化为向量之间的关系，其实质就是几何问题的代数化处理．

2 利用基向量法求平面向量中“一类几何图形”题

向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带，是数形结合的典范, 向量运算有着极其丰富的背景和几何意义．通过平面向量的基本定理，利用基向量法解决平面向量中“一类几何图形题”的优势在于将几何问题符号化、数量化，从而将推理转化为运算, 这也决定了基向量法在解题中有着广泛的应用．

2．1 定值问题

例1^[2] 如图,在平行四边形中，已知，， ，，求的值．

解 因为,，所以

．

又由．于是．

图2

图1

例2^[3] 如图，在矩形中， ，，点是的中点，点在边上，若，求的值．

解 利用向量数量积运算，因为

,

所以．因为,．所以．因为

,

又,所以．

注 上述两题均为求数量积的值，分别给出了一个特殊四边形，需要利用图形中每个向量之间的位置关系与数量关系，合理利用平面图形中的一些几何性质，以向量为工具，利用数形结合思想解决问题．

例3^[4] 已知和点满足，若存在实数，使得

成立，则等于（ ）

． ． ． ．

图3

解 因为，所以是的重心．如图所示，在中，点是边的中点，所以．又因为，所以．故．选．

注 利用基向量法解向量的线性运算问题，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，要树立数形结合与转化的观点，以数代形，以形观数．而且在用代数运算处理几何问题时，特别是处理向量的相关位置关系时，一定要熟记有关平面图形的重要性质，比如的重心必在每条中线的三等分点处，且满足．

例4^[2] 已知为等边三角形，，设点、满足

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