含参量反常积分一致收敛性的探讨

论文总字数：4624字

摘 要

关键词：一致收敛 含参量反常积分 判别方法

Abstract：Parameter Improper Integral Calculus plays an important role in research.The study of uniform convergence may deepen the understanding of mathematical analysis.In this paper,we will summarize the uniform convergence of identification methods and properties , and reveals its application rules.

Keywords：uniform convergence, parameter improper integral，identification method.

目 录

1 前言 3

2 含参量反常积分的一致收敛性的定义 4

2.1含参量反常积分的一致收敛性的定义 4

2.2用定义证明含参量反常积分的一致收敛性 4

3含参量反常积分一致收敛性的几个判别方法 5

3.1柯西准则判别法 7

3.2狄利克雷判别法 7

3.3阿贝尔判别法 8

3.4维尔斯特拉斯判别法 10

参考文献 13

致谢词 14

1 前言

含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.研究其性质以及判别方法对进一步掌握数学分析的相关内容有较大帮助.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种有效的方法和定理，首先介绍了含参量反常积分的定义和如何用定义法来证明含参量反常积分的一致收敛性,三种较基本的判别方法（比式判别法，根式判别法，对数判别法），这三种方法对我们处理一些较简单的题型能迅速的得出解答.针对不同题目的特点，本文又介绍了柯西准则判别法，狄利克雷判别法，阿贝尔判别法，维尔斯特拉斯M判别法，并给出了例题来进一步分析不同的判别方法的特点，通过选用适合的判别方法来处理问题,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握.

2含参量反常积分的一致收敛性的定义

2.1含参量反常积分一致收敛性的定义

函数定义在无界区域上,若对每一个固定的,反常积分

都收敛,则它的值是在上取值的函数,当记这个函数为时,则有

,

称为定义在上的含参量反常积分.

若含参量无穷限反常积分与函数对任给的正数,存在某一实数,使得时,对一切,都有

即

,

则称含参量无穷限反常积分在上一致收敛于..

2.2定义法证明含参量反常积分一致收敛性

用定义法来验证一致收敛的关键在于寻找只与有关的共同的,方法常常是采取适当放大的方法.

例1 证明无穷积分在区间一致收敛,而在上非一致收敛.

证明,对,取,则,有

,

因此,在是收敛的.

要想证在是不一致收敛的,只要取,取,则

.

但在一致收敛（其中）,,取,当时,对一切,有

.

所以,在（其中）上一致收敛.

3含参量反常积分一致收敛性的几个判别方法

含参量反常积分在上一致收敛的充要条件是：对任意趋于的递增数列{}（其中=），函数项级数在上一致收敛.

下面给出关于含参量x的无穷反常积分一致收敛的几个判别方法.

（1）比式判别法

设函数在区域上为非负函数，

为趋于的递增数列且则

是定义在上的正函数列，设存在正整数N及实数，M使得

对任意的,成立，则在上一致收敛.

（2）根式判别法

设函数在区域R=上位非负函数，{}为趋于的递增数列且=，则

为定义在上的正函数列，若存在正整数N，使得，对成立，则在上一致收敛.

（3）对数判别法

设函数在区域R= [, )上为非负函数，为趋于的递增数列且=c则

为定义在上的正函数列，若存在，那么

（1）若对1, 则在上一致收敛.

（2）若对1，则在上不一致收敛.

3.1柯西准则判别法

反常积分在区间一致收敛,,与,,.

例2证明 若在上连续,又

在上收敛,但在处发散,则

在上不一致收敛.

证 用反证法.假如积分在上一致收敛,那么对于任给,总存在,当,时对一切恒有

.

由假设在上连续,所以是的连续函数.在上面不等式中令,得到当时,

.

而是任给的,因此在处收敛,这与假设矛盾.所以积分在上不一致收敛.

3.2用狄利克雷判别法证明含参量无穷限反常积分的一致收敛性

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