三角函数幂级数定义

论文总字数：6127字

摘 要

在一般教科书中，三角函数的定义需要借助几何直观，然而几何直观显然不够严谨，同时不利于学习者对概念及定义的了解与掌握；而用幂级数来定义三角函数，能够更加严格，但其相关定理公式的证明较为繁复，本文将从正弦函数余弦函数的幂级数展开式出发，对正弦函数和余弦函数的性质、定理及公式给出了证明，找到了一些幂级数定义在三角函数研究中的应用。

关键词：正弦函数，余弦函数，幂级数

Abstract：In many textbooks, Trigonometric functions are defined by means of geometrical intuition. However, this method is not rigorous. Meanwhile, it goes against to understanding and mastery of concepts for learners. If we define trigonometric functions by power series, it will be more precise. However, proofs of related theorems and formulas are complex. This essay is based on power series expansion of sinusoidal function and cosine function. Properties, theorems and formulas are proved. Finally we find out applications of power series’ definition of trigonometric functions.

Keywords：sinusoidal function, cosine function, power series

目 录

1 前言 4

2 正弦函数和余弦函数的幂级数定义 7

2.1级数与函数项级数 7

2.2正弦和余弦函数的定义 8

3三角函数幂级数的性质 10

3.1三角函数基本性质 10

3.2 三角公式 10

3.3 三角函数幂级数的周期性 12

4 三角函数幂级数的应用 14

结 论 16

参 考 文 献 17

1 前言

三角学的起源可以追溯到1600年前，在已经出土的文献中，可以考察到古埃及人建造金字塔的过程中，为保证金字塔建筑的统一规模，即令其每边的倾斜角度相同，就已经用到了三角学的知识，只是当时的古埃及人还未能给出一个明确的定义，三角学则处于萌芽阶段。而在西元前150年至100年期间，希腊人为了研究天文学，才逐步开展了对三角学的探究。在对天文学的探究的不断推进中，三角学得到了不断的发展，终而于13世纪，自立门户，成为了一门独立的科学。在三角学正式发展的早期，三角函数是完全建立在几何的基础上进行的，三角函数的几何定义如下：

锐角的三角函数几何定义为：当平面上三点、、的连线、、，构成一个直角三角形，其中∠为直角（如图1）。那么，对于与的夹角∠而言：

称为的正弦，

称为的余弦，

称为的正切，

称为的余切，

称为的余割，

称为的正割。

17世纪，由于研究超越函数的需要，无穷级数的研究得到了空前的发展。Newton创造了级数反演法，并运用其第一次得到了与的幂级数。首先他考虑到，此时角是圆扇形的面积的两倍，但是Newton通过将二项式展开再逐项求积分，得到了弓形的面积，由此可知，

=

,

从而得到

.

而后Newton运用级数的反演，获得了的幂级数

,

利用相同的方法他后来又陆续得到其他一些公式的级数展开，如指数函数、等。

1673年，Leibniz同样独立地求出了、和等函数的无穷级数展开式，以及圆的面积、双曲线面积的具体展开式，并且将这些展开式与余割函数、反正切函数和正弦函数等联系起来。

Taylor将Gregory-Newton内插公式发展成一个把函数展开无穷级数的最有力的方法，由Gregory-Newton公式他推导出了Taylor定理。他用该定理把函数展开成级数，得到了如正弦函数及余弦函数等的标准展开式，并用这一方法求出微分方程的解。Taylor是第一个发表此级数的数学家，但他并不是这探索道路上的第一人，在他之前，至少还有五位研究过此级数的数学家，分别是：James Gregory、Newton、Leibniz、John Bernoulli(1667-1748) 和Abraham de Moivre (1667-1754)。详尽内容参见文献《Brook Taylor and the Methods of Increments》。

1748年，Euler发表了一本名为《无穷小分析引论》的书，在书中，Euler提出了将三角量看作函数，将其视为一种与角相对应的函数值，即任意一个角的三角函数，都可将其视为，是以该角的顶点为圆心，某定长为半径作圆，角的一条边与圆周的交点为，过点作角的另一边的垂线，垂足为点，得到、、这三条线段，线段之间相互的比值即为三角函数值，这样的定义使得三角学不再仅仅只是研究解三角形，不再需要借助几何直观，而是可以脱离几何图形进行研究的学科，Euler给予了三角学一个非常科学的定义。

本文所做的工作，即从幂级数出发给出三角函数的定义，对正弦函数和余弦函数的一些基本性质、公式进行了描述与证明，其中，重点讨论了三角函数幂级数的周期性，证明了与为周期函数，它们的周期为，并且估算出了的值。找到了幂级数定义在三角函数研究中的两个应用。

2 正弦函数和余弦函数的幂级数定义

2.1级数与函数项级数

定义：给定一个数列，对它的各项依次用“ ”号连接起来的表达式

称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中称为数项级数的通项。

设是定义在数集上的一个函数列，

表达式

称为定义在上的函数项级数，简记为或。

定理1（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设为正项级数，且存在某正整数及常数，

（ⅰ）若对一切，成立不等式

,

则级数收敛。

（ⅱ）若对一切，成立不等式

,

则级数发散。

设若级数各项绝对值所组成的级数收敛，则称原级数为绝对收敛。

定理2（柯西定理）若级数、都绝对收敛，则对这两个级数中每一项所有可能的乘积按任意顺序排列所得到的级数也绝对收敛，则其和等于。

定理3（魏尔斯特拉斯判别法）设函数项级数定义在数集上，为收敛的正项级数，若对一切，有

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