论文总字数：5701字

摘 要

:数列是代数学中极为重要的组成部分,是很多数学领域的基础.研究数列可以帮助我们更好的学习数列以及与数列有关的问题.数列的递推式呈现方式很丰富,求递推式的方法也多种多样.本文将着重介绍八种方法,分别为化为等差数列、化为等比数列、累加法、累乘法、迭代法、待定系数法、对数转换法和特征根法等方法求数列通项.

关键词:数列,通项公式,递推式

Abstract : The sequence is the very important part in algebra, It is the basis of many math territory. Research the sequence can help us learn sequence and solve the problem of The sequence better.The presentation of recursive type in sequence is very rich, and there are lots of methods about solution of recursive type. This article will focus on introducing eight methods of the recursive solution.they are conversion in arithmetic progression, conversion in geometric sequence,accumulative method,tired multiplication,iterative method, method of undetermined coefficients,Logarithmic transformation method and characteristic root method act.

Key words: Sequence,General term formula,Recursive type

目 录

1 引言 4

2 由数列递推式求通项的常用方法与技巧 4

2.1 由递推式转化为等差数列求数列通项 4

2.2 由递推式转化为等比数列求数列通项 5

2.3 由累加法求递推数列通项 6

2.4 由累乘法求递推数列通项 7

2.5 由迭代法求数列通项 8

2.6 由待定系数法求数列通项 10

2.7 由对数转换法求数列通项 11

2.8 由特征根法求线性递推数列通项 12

结 论 15

参 考 文 献 16

致 谢 17

1 引言

作为离散函数典型代表之一的数列,在高中数学中扮演着极为重要的角色.数列问题是这几年高考一大热点.除了较为简单的等差数列与等比数列外,还有更为复杂的由递推式求数列通项的数列问题.

如果一个数列中某几项之间或某几项与前项和之间存在着对应关系,那么这个关系就称为该数列的递推式.递推式揭示了数列项与项之间联系的本质,对研究数列具有极为重要的意义.由递推式求数列通项这类题型既考察了学生是否具有扎实的基础知识和熟练的解题技能,又考察了学生是否具有缜密的逻辑推理能力与灵活的分析问题、解决问题的能力.因为等差数列与等比数列具有公式和固定的解题技巧,所以学生较容易接受,但面对千变万化的数列递推式时就显得力不从心了.所以本文将对复杂的数列递推式问题进行归纳分析,总结出如下几种解题方法,让学生面对数列递推式问题时能有较为清晰的解题思路和灵活的解题技巧.

2 由数列递推式求通项的常用方法与技巧

2.1 由递推式转化为等差数列求数列通项

当我们遇见形如的递推式时,可用取倒数法将递推式化为的形式,此时{}即为等差数列.所以由等差数列的相关知识即可求出该数列的通项.

例1 在数列{}中,首项,且有,求数列{}的通项公式.

解 由题可知

,

两边取倒数得

,

则

,

所以{}为等差数列,且首项为,公差为.

有 ,

即

.

2.2 由递推式转化为等比数列求数列通项

在众多的数列递推式题型中，有些较为复杂递推式，如递推式中含有前项的和，可以利用公式把递推式转化为某几项的等式。若能化出，().那么此数列就可以利用等比数列的相关知识求出.

例2 数列{}的前项和为，若，求数列的通项公式.

解 当时，,由 （1）

得,所以.

由(1)知

, （2）

由（2）-（1）得

. （3）

因为,所以,

代入（3）式得

.

化简得

.

所以数列{}是一个首项为，公比为的等比数列.

故

.

2.3 由累加法求递推数列通项

因为,所以在求形如 （为关于的多项式）的递推数列时,两边同时减得

,

用替换上式中的,得

， （1）

同理

............ （）

， ()

将（1）至（）式累加得

.

若存在，我们称这种方法称为累加法.

例3 已知在数列{}中,若 ,求数列{}的通项.

解 因为

， （1）

用替换上式中的,得

， （2）

..................... ， （）

， （）

将（1）至（）式累加得

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