符号函数及其应用

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摘 要

关 键 词：符号函数，不等式证明，不定积分，定积分，几何画板

Abstract : In this paper, sign function was a special piece-wise function. According to the definition of sign function, the relevant nature of sign function was discussed. Its application in proving inequality, simplified integration and geometer sketchpad were summarized.

Keywords：sign function, inequality proof, indefinite integral, definite integral, geometer sketchpad

目 录

1 引言……………………………………………………………………………4

2 符号函数在证明不等式中的应用……………………………………………4

3 符号函数在积分计算中的应用………………………………………………7

4 符号函数在几何画板上的应用 ……………………………………………12

结论………………………………………………………………………………15

参考文献…………………………………………………………………………16

致谢………………………………………………………………………………17

1. 引言

符号函数（sign function,简称sgn）是一个逻辑函数，用于判断实数的正负号.其定义为：

对,,

记号，由拉丁文signum(符号，正负号)得来.

符号函数是由19世纪德国数学家克罗内克(Kronecker,Leopold)引进的，所以又称克罗内克函数.克罗内克(Kronecker,Leopold,1823-1891),1842年入柏林大学，1845年毕业，并于1849年以关于代数数域中单位的论文在此获得博士学位；1861年在柏林大学任终身教授，同年被选为柏林科学院院士；1884年被选为英国皇家学会会员，他还是彼得堡科学院院士和法国科学院院士. ^[1]

符号函数是一个特殊的，具有明确特性的分段函数，易知符号函数具有如下性质^[2]：

（1）任何实数都可表示为其绝对值和符号函数的积，即

；

（2）符号函数有以下形式：

；

（3）符号函数是绝对值函数除零外的导数，即

,；

（4）在任意区间上黎曼可积，且

.

符号函数在数学多分支上有着广泛的应用，它是解决许多数学问题甚至物理问题的有力工具.本文主要总结了符号函数在证明不等式，简化积分计算以及在几何画板上的应用.

2 符号函数在证明不等式中的应用

由符号函数的定义知，某一数学表达式通过符号函数运算后，若，那么,若，那么.因此，用符号函数证明不等式，可以将不等式的证明问题转化为符号函数的等式问题，使不等式的证明更加简洁明了.

例1 ^[3] 设，定义，,

（1）若，则数列单调递增；

（2）若，则数列的子列单调递减，单调递增.

证明 （1）由假设，显然有，于是有

=

=

=

=……

=

=

=,

因此，，即数列单调递增.

（2）由定义知，对任意的自然数，有.设，易知，于是有

=

=

=

=

=

=……

=

=

=,

所以，即数列单调递增. 由上证知，，那么

,

所以，即数列单调递减.

例2^[4] 已知，，且 ，，试证数列或者对任意自然数都满足，或者对任意自然数都满足.

证明 利用符号函数的性质：

，

根据数列的构造，易知：，，所以

=

=

=

=

=,

又

=

=

=

=,

因为，所以，即，则

=，

于是，数列是一常数列，因而

=，

有

=

=

=

由符号函数的定义知，当时，；当时，，，命题得证.

1. 符号函数在积分计算中的应用

根据符号函数的性质，巧用符号函数可以简化被积函数含有（或不显含）绝对值的积分计算.由符号函数的定义可以看出符号函数是一个分段可导函数，它仅在积分计算中有意义，如果我们能找到符号函数的导数表达式，再将此表达式应用到积分计算中，这对于涉及到绝对值的积分计算是很有用的.下面我们由亥维赛单位跳跃函数和函数来推出符号函数导数的表达式.

由电磁场分析中的应用数学，给出亥维赛单位跳跃函数和函数的定义.

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